Calcule os limites:

d) lim x → - 5 ⁡ x + 5 x 2 + 2 x - 15

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um limite e pediu pra gente calcular ele. Em outras palavras, ele quer saber o que acontece com a função x + 5 x 2 + 2 x - 15 quando x tende a - 5 . Mas o quê que isso quer dizer?

Quer dizer que quanto mais x vai se aproximando de - 5 , se esse limite existir, então a função vai se aproximando de um valor. E qual valor é esse?

É isso que nós vamos descobrir!

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha no nosso limite:

lim x → - 5 ⁡ x + 5 x 2 + 2 x - 15

Como é que a gente pode calcular o limite dessa função? Bom, se eu substituir o - 5 no lugar do x , vai ficar assim:

- 5 + 5 - 5 2 + 2 - 5 - 15 = 0 25 - 10 - 15 = 0 0

Ou seja, temos uma indeterminação, que é uma expressão não sabemos exatamente como calcular. Beleza, então o que eu faço? Nós precisamos encontrar estratégias para fugir dessas indeterminações e transformar o nosso limite em algo simples de resolver.

Uma forma de fazer isso é escrevendo a função na sua forma fatorada. Como assim? Bom, o numerador ( x + 5 ) já está na sua forma mais simples, mas a gente percebe que dá pra melhorar o denominador x 2 + 2 x - 15 , escrevendo ele como um produto de fatores. Assim:

x 2 + 2 x - 15 = ( x - 3 ) ( x + 5 )

Para fazer isso basta a gente encontrar as raízes da equação, que no caso são x = 3 e x = - 5 , beleza? Agora vamos focar na no nosso limite.

Passo 3

Como a gente fatorou o denominador, agora a gente pode escrever o limite na forma:

lim x → - 5 ⁡ x + 5 ( x - 3 ) ( x + 5 )

Agora a gente pode cortar o termo ( x + 5 ) em cima e embaixo, e temos:

lim x → - 5 ⁡ 1 x - 3

E olha só, fugimos da nossa indeterminação. Então podemos substituir o - 5 no lugar do x para aplicar o limite:

1 - 5 - 3 = 1 - 8 = - 1 8

Encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉

Resposta

- 1 8

Exercícios de Livros Relacionados

Para o limite lim x → 1 ⁡ x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f x + g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.
Para o limite lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .