Calcule os seguintes limites

a )   lim t → 0 ⁡ 1 t - 1 t t 2 + 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Esse problema parece ser cabuloso, mas vou te ajudar!

Precisamos resolver esse limite aqui

lim t → 0 ⁡ 1 t - 1 t t 2 + 1

Nosso instinto nos diz para substituir t por 0 não é verdade? Então vamos fazer isso:

lim t → 0 ⁡ 1 t - 1 t t 2 + 1 = 1 0 - 1 0 0 2 + 1 = ∞ - ∞

Não se engane! Não é zero!

pois é! É uma indeterminação! Não sabemos na verdade qual dos infinitos é “maior”, então dizer que é zero é supor demais, e não podemos fazer isso!

Mas calma, sempre tem um truque sujo para aplicar e levantar essa indeterminação, e aqui não vai ser diferente!

Vem comigo que te mostro!

Passo 2

Nosso limite é esse aqui

lim t → 0 ⁡ 1 t - 1 t t 2 + 1

Em uma situação de indeterminação do tipo ( ∞ - ∞ ) precisamos manipular a função até levantar a indeterminação

E como fazer isso? No caso de frações é juntando-as! Fazendo o famoso mmc! E é isso que vamos fazer!

Depois do mmc feito, vamos simplificar o que der e aí sim avaliar novamente o limite. Com sorte, essa nossa simplificação irá levantar a indeterminação e teremos um resultado para o limite, beleza?

Bora mexer nessa função então!

lim t → 0 ⁡ 1 t - 1 t t 2 + 1

Pegando apenas a função de dentro, temos que o mmc é t t 2 + 1 :

1 t - 1 t t 2 + 1 = t 2 + 1 - 1 t t 2 + 1 = t 2 + 1 - 1 t t 2 + 1 = t 2 t ( t 2 + 1 )

Tudo bem até aqui? Agora vamos simplificar!

t 2 t ( t 2 + 1 ) = t t 2 + 1

Tudo tranquilo até aqui?

Show!

Passo 3

Nosso próximo passo é avaliar novamente o limite, mas agora da função equivalente que encontramos

lim t → 0 ⁡ 1 t - 1 t t 2 + 1 = lim t → 0 ⁡ t t 2 + 1

Substituindo por t = 0 temos

lim t → 0 ⁡ t t 2 + 1 = 0 0 2 + 1 = 0 1 = 0

De fato encontramos 0 como resultado para nosso limite, mas poderia ter sido outro valor qualquer! Beleza? Espero ter ajudado! Bora praticar mais?

Resposta

0

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.