Demonstre, utilizando a definição de limite, que:

  1. lim x → 4 ⁡ x 2 = 16
  2. lim x → - 1 ⁡ 11 x + 5 = - 6
  3. lim x → 2 ⁡ 8 3 = 8 3
  4. lim x → 10 ⁡ x 2 - 100 x - 10 = 20

Passo 1

Para demonstrar que lim x → 2 ⁡ 8 3 = 8 3   , vamos usar a definição formal de limite.

A definição de limite de uma função f ( x ) quando x   se aproxima de um valor a   é dada por:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L   s e ,   p a r a   t o d o   ε > 0 ,   e x i s t e   δ > 0   t a l   q u e ,   s e   0 < x - a < δ ,   e n t ã o

Neste caso, temos a = 2   e   f x = 8 3 .

Passo 2

Precisamos demonstrar que, para qualquer ε   >   0 , podemos encontrar um   δ   >   0 de tal forma que, se 0   <   | x   - 2 | < δ , então 8 3 - 8 3 = 0 < ε .

Vamos começar escolhendo um valor específico para ε

Vamos assumir que ε > 0 .

Agora, queremos encontrar um valor correspondente de δ que funcione para o valor escolhido de ε

Para isso, vamos trabalhar na desigualdade | f ( x )   -   L |   < ε :

8 3 - 8 3 = 0 < ε

Observe que não importa qual valor de x   estejamos usando, a expressão | f ( x )   -   L | sempre será igual a zero, já que f ( x )   =   8 3   e   L   =   8 3 .

Passo 3

Isso significa que, não importa o valor que escolhamos para δ a desigualdade será sempre satisfeita, já que a diferença entre f   e   L é sempre zero.

Portanto, escolhendo qualquer valor positivo para δ a condição 0   <   x   - 2 < δ sempre resultará em | f ( x )   -   L |   < ε , ou seja, | 8 3   -   8 3 | < ε para qualquer ε > 0 .

Isso demonstra que lim x → 2 ⁡ 8 3 = 8 3 de acordo com a definição de limite.

Resposta

Vide o passo a passo.

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Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.