Demonstre, utilizando a definição de limite, que:

  1. lim x → 4 ⁡ x 2 = 16
  2. lim x → - 1 ⁡ 11 x + 5 = - 6
  3. lim x → 2 ⁡ 8 3 = 8 3
  4. lim x → 10 ⁡ x 2 - 100 x - 10 = 20

Passo 1

Falaiii meus xuxus, bora fazer mais umazinha comigoo?

Simbora então

Vamos demonstrar que lim x → 10 ⁡ x 2 - 100 x - 10 = 20 utilizando a definição de limite.

A definição formal de limite diz que para qualquer ε > 0 , existe um δ   >   0 tal que, se 0 < x - 10 < δ , então x 2 - 100 x - 10 - 20 < ε .

Começamos manipulando a expressão x 2 - 100 x - 10 - 20 < ε para facilitar nossos cálculos:

x 2 - 100 x - 10 - 20 = x 2 - 100 - 20 x - 10 x - 10

= x 2 - 100 - 20 x + 200 x - 10

= x 2 - 20 x + 100 x - 10

= x - 10 2 x - 10

= x - 10

Passo 2

Agora queremos garantir que | x   - �� 10 | < ε quando 0 < | x   -   10 | < δ .

Podemos fazer isso escolhendo δ   = ε .

Isso significa que quando 0 < | x   -   10 | < δ , teremos 0 < x   -   10 < ε , e consequentemente   0 < x   -   10 < ε .

Portanto, com δ = ε temos que 0 < x   -   10 < δ implica 0 < x   -   10 < ε o que, por sua vez, implica que x   -   10 < ε .

Isso nos leva a concluir que:

x 2 - 100 x - 10 - 20 < ε

cumprindo a definição de limite.

Portanto, demonstramos que lim x → 10 ⁡ x 2 - 100 x - 10 = 20 usando a definição de limite.

Resposta

Vide o passo a passo.

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Para o limite x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.