Demonstre, utilizando a definição de limite, que:

  1. lim x → 4 ⁡ x 2 = 16
  2. lim x → - 1 ⁡ 11 x + 5 = - 6
  3. lim x → 2 ⁡ 8 3 = 8 3
  4. lim x → 10 ⁡ x 2 - 100 x - 10 = 20

Passo 1

Falaaaaaai galerinha do responde ai,

Bora resolver essa junto comigo?

Queremos mostrar que lim x → 4 ⁡ x 2 = 16   usando a definição de limite.

Isso significa que, para qualquer valor positivo ε , por menor que seja, deve haver um intervalo ao redor de x   =   4 onde os valores de x 2 fiquem próximos de 16 (dentro da margem de ε .

A definição formal diz que lim x → 4 ⁡ x 2 = 16   se, para cada ε > 0 , existe um δ > 0 tal que, para todo x , se 0 < x - 4 < δ então ( x 2 –   16 < ε ) .

Passo 2

Agora, vamos seguir os passos da demonstração:

Vamo escolher ε e procurando δ :

Dado ε > 0   nosso objetivo é encontrar um δ > 0 adequado.

Manipulando a expressão x 2 - 16 :

Vamos começar pela expressão x 2 - 16 :

x 2 - 16 = x + 4 | x - 4 |

Simplificando | x + 4 |

Para simplificar a expressão x + 4 ,   vamos analisar a região na qual x deve estar.

Passo 3

Escolhemos δ de forma que 0   <   | x   -   4 |   < δ .

Isso implica que 3   <   x   <   5 , já que queremos que x esteja a uma distância δ de 4 .

Assim, podemos afirmar que | x   +   4 |   <   9 , pois x está restrito a um intervalo onde ( x   +   4 ) nunca excede 9 .

Escolhendo um valor para δ :

Agora, escolhemos δ de modo que | x   +   4 |   <   9 .

Se quisermos que   | x 2   -   16 | seja menor que ( ε ) , então queremos 9 | x   -   4 |   < ε .

Passo 4

Determinando o valor de δ :

Escolhemos δ de forma que 9 | x   -   4 |   < ε .

Isso nos leva a escolher δ   = ε 9   , garantindo que quando | x   -   4 |   < δ , a desigualdade

9 | x   -   4 |   < ε   seja atendida.

Substituindo δ na condição | x   -   4 |   < δ :

Se 0   <   | x   -   4 |   < δ = ε / 9 , então   9 | x   -   4 |   < ε .

Passo 5

Portanto, escolhendo δ = ε / 9 , conseguimos mostrar que sempre que 0   <   | x   -   4 |   < ε / 9 , teremos | x 2   -   16 |   < ε .

Isso cumpre a definição de limite, demonstrando que     lim x → 4 ⁡ x 2 = 16   .

Lembre-se de que a escolha δ < 1   no passo 3 foi uma simplificação conveniente para a demonstração.

Em uma prova mais rigorosa, você precisaria ajustar δ de acordo com ε de uma maneira mais precisa.

Resposta

Vide o passo a passo.

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Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.