Demonstre, utilizando a definição de limite, que:

  1. lim x → 4 ⁡ x 2 = 16
  2. lim x → - 1 ⁡ 11 x + 5 = - 6
  3. lim x → 2 ⁡ 8 3 = 8 3
  4. lim x → 10 ⁡ x 2 - 100 x - 10 = 20

Passo 1

Oieee bora la galerinhaaa

Para demonstrar que lim x → - 1 ⁡ 11 x + 5 = - 6 usando a definição de limite, vamos trabalhar com a definição formal de limite.

A definição de limite de uma função f ( x ) quando x se aproxima de c é:

lim x → c ⁡ f ( x ) =   L

Se, para todo ε   >   0 , pudermos encontrar um δ > 0 de tal forma que sempre que 0   <   | x   -   c |   < δ ,   e n t ã o   | f ( x )   -   L |   < ε , então podemos dizer que

lim x → c ⁡ f ( x ) =   L

No nosso caso, f x =   11 x   +   5   e   c   =   - 1 .

Queremos provar que lim x → c ⁡ ( 11 x + 5 ) = - 6 .

Passo 2

Portanto, queremos mostrar que para todo ε > 0 , existe um δ > 0   t a l   q u e   | f x - ( - 6 ) | < ε sempre que 0   <   | x   -   ( - 1 ) |   < δ .

Vamos prosseguir com a demonstração:

Dado ε   >   0 , queremos encontrar um δ   >   0 tal que | ( 11 x   +   5 )   -   ( - 6 ) |   < ε sempre que 0   <   | x   -   ( - 1 ) |   < δ .

Simplificando a expressão | ( 11 x   +   5 )   +   6 | , obtemos 11 x   +   11

Agora, queremos encontrar um valor de δ que garanta que 11 x   +   11 < ε   sempre que 0   <   | x   +   1 |   < δ .

Podemos perceber que 11 x   +   11   é igual a 11   | x   +   1 | .

Passo 3

Portanto, queremos que 11   | x   +   1 |   < ε .

Isso nos leva a   | x   +   1 |   < ε 11

Agora, escolhendo   δ   = ε / 11 , podemos afirmar que se 0   <   | x   +   1 |   < δ , então | 11 x   +   11 |   < ε , o que implica | ( 11 x   +   5 )   -   ( - 6 ) |   < ε .

Assim, mostramos que para todo ε   >   0 , existe um δ   >   0   t a l   q u e   | x   +   1 |   < δ implica | ( 11 x   +   5 )   -   ( - 6 ) |   < ε , o que é a definição de limite.

Portanto, lim x → - 1 ⁡ 11 x + 5 = - 6 , demonstrado utilizando a definição de limite.

Resposta

Vide o passo a passo.

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
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Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.