Determine:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 - x 2 - x ;

Passo 1

Falaaa, beleza?? Bora lá para mais uma questãozinha de limites

Para entender o que podemos fazer bora primeiro notar que quando x → - ∞ não conseguimos analisar o que ocorre com o limite pois as coisas estão crescendo muito em módulo, porém, quando temos coisas do tipo a l g o x e x → - ∞ é motivo de felicidade, pois isso vai para zero.

Nossa ideia então será fazer aparecer um denominador nessa expressão do limite, como podemos fazer isso acontecer de forma esperta??

Para isso, vamos usar a ideia de racionalizar, ou seja, quando temos coisas do tipo a ± b uma ideia legal é multiplicar por a ∓ b a ∓ b , bora fazer isso?

Passo 2

Bora fazer o que foi falado, racionalizar o numerador, multiplicando por x 2 + x + 1 + x 2 - x x 2 + x + 1 + x 2 - x

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 - x 2 - x =  

l i m x → - ∞ x 2 + x + 1 - x 2 - x x 2 + x + 1 + x 2 - x x 2 + x + 1 + x 2 - x

A ideai de multiplicar por isso é usar a seguinte fatoração:

a - b a + b = a 2 - b 2

Aplicando isso: l i m x → - ∞ x 2 + x + 1 2 - x 2 - x 2 x 2 + x + 1 + x 2 - x =

= l i m x → - ∞ 2 x + 1 x 2 + x + 1 + x 2 - x  

Agora podemos fazer o que foi dito, fazer aparecer coisas sobre x , uma forma de fazer isso é dividir todos por x , bora lá?

Passo 3

Dividindo todos por x temos que o limite ficará:

l i m x → - ∞ 1 x ( 2 x + 1 ) 1 x x 2 + x + 1 + 1 x x 2 - x

Lembrando que vamos analisar x negativo, ou seja:

l i m x → - ∞ 2 + 1 x - 1 + 1 x + 1 x 2 + 1 - 1 x

Agora, como foi dito, fica mais evidente a motivação de fazer tudo que fizemos, pois agora conseguimos analisar o limite, tendo que 1 x irá para zero. Ou seja:

= 2 - 1 + 1 = 2 - 2 = - 1

E assim chegamos ao fim de mais um probleminha, bora para o próximo?

Resposta

- 1

Exercícios de Livros Relacionados

Para o limite x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.