Determine, se possível, os valores das constantes a   e   b para que a função

f ( x ) = a x 2 - 1   s e   x < 3

= 4   s e   x = 3

= b x - 2   s e   x > 3

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é determinar os valores das constantes a   e   b para que a função

f ( x ) = a x 2 - 1   s e   x < 3

= 4   s e   x = 3

= b x - 2   s e   x > 3

Como verificamos isso? Para uma função ser contínua em um ponto precisamos que o limite da função naquele ponto seja igual ao valor da função. Ou seja, f é contínua em x = c se

l i m x → c f ( x ) = f ( c )

Vamos verificar se essa condição é satisfeita.

Passo 2

Bem, queremos verificar se

f ( x ) = a x 2 - 1   s e   x < 3

= 4   s e   x = 3

= b x - 2   s e   x > 3

é contínua. Vamos pensar, onde podemos ter problemas na continuidade dessa função? Seria justamente em x = 3 pois é onde a função muda o comportamento de uma parábola para uma reta. Então, vamos verificar a condição para ser contínua nesse ponto. Queremos checar se

l i m x → 3 - f ( x ) = f ( 3 )

Pela lei de formação da função,

f ( 3 ) = 4

Passo 3

Para verificarmos o limite

l i m x → 3 - f ( x )

precisamos ver se ele está bem definido, isso é se

l i m x → 3 - - f ( x ) = l i m x → 3 + f ( x )

Vamos começar com o limite à esquerda.

Para x < 3 , temos:

l i m x → 3 - - f ( x ) = l i m x → 3 - a x 2 - 1

= 9 a - 1

E o limite a direita é

l i m x → 3 + f ( x ) = l i m x → 3 + f ( x )

Para x > 3 , temos:

l i m x → 3 + f ( x ) = l i m x → 3 + b x - 2

= 3 b - 2

Passo 4

Pronto, calculamos nossos limites laterais. Agora, vamos verificar as condições necessárias para que a função seja contínua isto é, para que

l i m x → 3 - f ( x ) = f ( 3 )

Como vimos, temos que l i m x → 3 - f ( x ) está bem definido se

l i m x → 3 - - f ( x ) = l i m x → 3 + f ( x )

E caso seja, temos que

l i m x → 3 - f ( x ) = l i m x → 3 - - f ( x ) = l i m x → 3 + f ( x )

Vamos verificar se as condições são satisfeitas

l i m x → 3 - - f ( x ) = f ( 3 )

l i m x → 3 + f ( x ) = f ( 3 )

Usando os limites que calculamos no passo anterior, chegamos que

9 a - 1 = 4

3 b - 2 = 4

Logo

a = 5 / 9

b = 2

Dessa forma, chegamos a conclusão que se

a = 5 / 9

b = 2

A função

f ( x ) = a x 2 - 1   s e   x < 3

= 4   s e   x = 3

= b x - 2   s e   x > 3

Será contínua

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

a = 5 / 9

b = 2

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.