16) Dê um exemplo com duas funções f e g tais que f seja contínua em x = 0 , g seja descontínua em x = 0 e, no entanto, f ⋅ g       seja contínua em x = 0 .

Passo 1

Fala pessoal, bora fechar essa lista com chave de ouro!

Pô, tem que inventar um exemplo, será que precisa ser muito criativo? Na verdade, nessas horas quanto mais simples for o exemplo é até melhor rs.

Então, a ideia é escolher uma função f contínua que seja capaz de forçar o resultado de f ⋅ g independente da função g escolhida.

Qual é o número (ou função) que sempre que multiplicamos qualquer outro valor por ele, obtemos sempre a mesma resposta? Isso mesmo, é o zero!!

Por isso, já vamos deixar a nossa função f escolhida como sendo a função constante e nula em todo R .  

f x = 0 , para todo x ∈ R

Passo 2

Agora, já que garantimos que f ⋅ g será sempre nulo, e, portanto, contínua em x = 0 . Basta definirmos uma função g que seja descontínua em x = 0 .

Mas o Simples é o Belo gente, então vamos escolher:

g x = 1 ,     x ≠ 0 0 ,     x =   0

Logo, f ⋅ g resulta na própria função nula, que é contínua em x = 0 .

Resposta

f x = 0 , para todo x ∈ R

g x = 1 ,     x ≠ 0 0 ,     x =   0

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Para o limite x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.