40. Prove que: lim h → 0 ⁡ f h h = 0 ⟺ lim h → 0 ⁡ f h h = 0

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos provar essa sentença.

Ela é diz que “limite de f h h com h tendendo a zero é igual a 0 se, se somente se, limite de f h h , com h tendendo a zero, é igual a zero.”

Como temos essa seta dupla, que significa “se, e somente se,” nós precisamos provar a ida e a voltar, ou seja...

Primeiro assumimos que lim h → 0 ⁡ f h h = 0 e provamos que lim h → 0 ⁡ f h h = 0 .

Depois assumimos que lim h → 0 ⁡ f h h = 0 e provamos que lim h ��� 0 ⁡ f h h = 0 .

Passo 2

Primeiro vamos assumir que lim h → 0 ⁡ f h h = 0 .

Repara que temos o módulo embaixo, então podemos usar os limites laterias (já que o h está tendendo a zero).

Quando h se aproxima de 0 pela esquerda, temos:

lim h → 0 - ⁡ f h h = lim h → 0 - ⁡ f h - h

= - lim h → 0 - ⁡ f h h

Quando h se aproxima de 0 pela direita, temos:

lim h → 0 + ⁡ f h h = lim h → 0 + ⁡ f h h

Podemos escrever:

- lim h → 0 - ⁡ f h h ≤ lim h → 0 ⁡ f h h ≤ lim h → 0 + ⁡ f h h

E como consideramos ser verdade que lim h → 0 ⁡ f h h = 0 , então os limites laterais existem e são iguais a zero também:

- 0 ≤ lim h → 0 ⁡ f h h ≤ 0

Pelo teorema do confronto:

lim h → 0 ⁡ f h h = 0

Passo 3

Agora fazemos o contrário. Assumirmos ser verdade lim h → 0 ⁡ f h h = 0 .

Como isso já é verdade, então os limites laterais existem e são iguais a zero, então:

- lim h → 0 - ⁡ f h h = lim h → 0 + ⁡ f h h = 0

Podemos escrever, sabendo que o limite está entre os seus limites laterais:

lim h → 0 - ⁡ f h h ≤ lim h → 0 ⁡ f h h ≤ lim h → 0 + ⁡ f h h

0 ≤ lim h → 0 ⁡ f h h ≤ 0

Pelo teorema do confronto, temos:

lim h → 0 ⁡ f h h = 0

Portanto:

lim h → 0 ⁡ f h h = 0 ⟺ lim h → 0 ⁡ f h h = 0

Como queríamos provar.

Resposta

Demonstração

Exercícios de Livros Relacionados

Para o limite x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.