Prove que l i m x → 0 s e n ( 1 x ) não existe.

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos provar que o seguinte limite não existe

l i m x → 0 s e n ( 1 x )

mas como fazer isso? A existência do limite é definida uma vez que

l i m x → a f ( x ) = L

em que L é um número finito! No entanto, nem sempre verificar essa afirmação é simples! Neste caso em particular, vamos tentar usar a definição precisa de limite! Saca só!

Passo 2

A definição precisa de limite diz que

l i m x → a f ( x ) = L

se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que se

| x - a | < δ

então

| f ( x ) - L | < ε

em nosso caso, temos que a = 0 . Como a escolha sobre δ e ε são arbitrárias, vamos escolher algo que nos dê valores fáceis para a nossa função, e assim conseguirmos visualizar tudo de maneira mais direta! Em particular, temos que nossa função se anula quando

x = 1 k π

e, é simplesmente igual a 1 quando

x = 2 ( 2 k + 1 ) π

em que k é um número inteiro qualquer. Mas de que forma isso nos ajuda? Saca só!

Passo 3

Como temos que a = 0 , a seguinte condição deve ser respeitada

0 < | x | < δ

por exemplo, se x = 2 ( 2 k + 1 ) π precisamos que δ > 2 ( 2 k + 1 ) π . Vamos tentar analisar as condições em conjunto! As condições para a existência do limite são

0 < | x | < δ e | s e n ( 1 x ) - L | < ε

O que acontece se escolhermos δ = 2 ( 2 k + 1 ) π ? Isso faz com que

0 < | x | < 2 ( 2 k + 1 ) π

de forma que podemos ter x = 1 ( 2 k + 1 ) π , e portanto, a relação

| s e n ( ( 2 k + 1 ) π ) - L | < ε

ou simplesmente

| 0 - L | = | - L | < ε

Ou seja, sempre que L ≠ 0 , será sempre possível escolher um ε < | - L | de forma que a condição de limite não seja válida! Mas, e se L = 0   ? Para verificar que isso também não funciona, note que ao escolhermos x = 1 k π 2 < δ , as condições se tornam

| s e n ( 1 x ) - L | < ε → | 1 - 0 | < ε

note que se escolhermos qualquer ε < 1 , temos uma contradição! Ou seja, não é qualquer valor de δ que respeita às condições! E, sendo assim, o limite não existe! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
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