5b) Sabe-se que lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5 e f é definida em R . Todas as afirmativas abaixo são falsas. Tente desenhar um contraexemplo para cada uma delas.

f 2 = 5

Passo 1

Vamos juntos matar essa questão!

Primeiro, vamos entender porque essa afirmação é falsa. Sabemos que:

lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5

Mas, é verdade que isso implica f 2 = 5 ?

Bom, para responder essa pergunta vamos antes relembrar o conceito de continuidade de uma função em um ponto do seu domínio:

f é continua em p ↔   lim x → p ⁡ f ( x ) = f ( p )

Logo, supondo que a resposta à nossa pergunta fosse “sim”, então teríamos: lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5 f 2 = 5     ⇒ lim x → 2 ⁡ f ( x ) = f 2

Então, f seria contínua em x = 2 . Assim, estaríamos dizendo que se lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5 então f é contínua nesse ponto. E isso, pelo próprio conceito que revisamos, não é verdade, pois existem funções que não são contínuas em x = 2 , mas possuem limite, quando x tende a 2, iguais a 5. É por isso que a resposta à nossa pergunta é não e a afirmação feita, de fato, é falsa.

Passo 2

Agora que entendemos o porquê da afirmação ser falsa, vamos pensar em como construir um contraexemplo.

Como vimos no passo 1, a afirmação só seria verdadeira se f for contínua em x = 2 . Portanto, para desenharmos um contraexemplo, basta pensarmos em uma função que não seja contínua em x = 2 , mas tenha lim x → 2 ⁡ f x = 5 . A ideia é pensar na função mais simples possível que obedece a:

lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5 f 2 ≠ 5

Uma ótima opção é uma função definida por partes. Para que, com certeza, ela obedeça à primeira condição, podemos dizer que:

f x = 5 ,   para todo x ≠ 2

Já para satisfazer a segunda condição, basta definirmos que:

f 2 = - 2 , quando x = 2

Assim, definimos f ( x ) como:

f x =   5   ,     x ≠ 2 - 2   ,     x = 2

Passo 3

Agora, basta desenharmos o gráfico dessa função:

Resposta

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Para o limite x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.