Use a definição de limite e prove que:

i ) lim x , y → 0,0 ⁡ x + y s e n 1 x = 0

j ) lim x , y , z → ( 1,1 , 1 ) ⁡ ( 2 x + y + z ) = 4

Passo 1

Faaala pessoal!

Faaaala galera, tudo na paz?

Nessa questão temos dois itens onde precisamos calcular limite de função de duas ou mais variáveis utilizando a definição.

Então, vamos dar uma revisada na definição formal de limite para funções de duas variáveis (depois adaptamos para o limite envolvendo f ( x , y , z ) :

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Se e somente se:

Dado ε > 0 , existe δ > 0 tal que x , y - x 0 . y 0 < δ e x , y ∈ U tem-se f x , y - L < ϵ .

Simm, essa definição parece tão complexa né? Mas, vamos focar em pensar em como usamos ela pra resolver o nosso problema. Se queremos provar que:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Precisamos apenas mostrar que pra qualquer número ϵ > 0 que escolhermos, existe um outro número δ > 0 que iremos tomar como hipótese que obedece a:

x , y - x 0 . y 0 < δ

De modo que será verdade que:

f x , y - L < ϵ

Essa última relação é a que vamos querer provar no final das contas. Beleza?

Então, vamo lá!

Passo 2

Vamos começar pelo item i ) . Queremos provar que:

lim x , y → 0,0 ⁡ x + y s e n 1 x = 0

Lembrando da nossa definição formal, temos que:

x 0 , y 0 = ( 0 , 0 ) f x , y = x + y s e n 1 x L = 0

Show, então para provar que esse limite vale 0 , precisamos provar que:

x + y s e n 1 x - 0 < ϵ

Partindo de que é verdade a relação:

x , y - 0 , 0 < δ

Ou seja:

x 2 + y 2 < δ

Tranquilo?!

Então vamos la! Começando pela nossa expressão:

x + y s e n 1 x - 0 = x ⋅ s e n 1 x + y ⋅ s e n 1 x

Usando a desigualdade triangular:

x ⋅ s e n 1 x + y ⋅ s e n 1 x < x ⋅ s e n 1 x + y ⋅ s e n 1 x

Observando a nossa relação para δ , temos:

x 2 + y 2 < δ

Mas, como é verdade que:

x 2 < x 2 + y 2

Temos:

x < δ

Analogamente, temos também:

y < δ

Logo:

x ⋅ s e n 1 x + y ⋅ s e n 1 x < δ + δ ⋅ s e n 1 x

Porém, como a função seno é limitada, temos que:

s e n 1 x ≤ 1

Assim:

δ + δ ⋅ s e n 1 x ≤ 2 δ

Logo, a conclusão que tiramos é que:

x + y s e n 1 x - 0 < 2 δ

Como queremos provar a nossa relação para um ε qualquer, podemos dizer que para qualquer ε escolhido existe um δ tal que:

δ = ϵ 2

Então:

x + y s e n 1 x - 0 < 2 ⋅ δ = 2 ⋅ ϵ 2 = ϵ

Ou seja:

x + y s e n 1 x - 0 < ϵ

E assim provamos que também existe um δ para a relação acima ser válida!

Excelente! Matamos o primeiro limite!

Passo 3

Vamos agora para o item j ) . Queremos provar que:

lim x , y , z → ( 1,1 , 1 ) ⁡ ( 2 x + y + z ) = 4

Como temos uma função de 3 variáveis, temos que adaptar um pouquinho. Continuamos precisando mostrar que existe um δ que torna a relação abaixo verdadeira:

f x , y , z - L < ϵ

2 x + y + z - 4 < ϵ

Maaas, o que muda um pouco é a nossa relação envolvendo δ , pois agora temos:

x , y , z - 1 , 1 , 1 < δ

Ou seja:

( x - 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2 < δ

Tranquilo? Então vamo lá!

Vamos começar manipulando:

2 x + y + z - 4

Podemos escrever que:

2 x + y + z - 4 = 2 x - 1 + y - 1 + z - 1

Usando a desigualdade triangular:

2 x - 1 + y - 1 + z - 1 ≤   2 x - 1 + y - 1 + | z - 1 |

Porém, como:

x - 1 2 < ( x - 1 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z - 1 ) 2

Da relação envolvendo δ , podemos escrever que:

x - 1 < δ

De modo análogo:

y - 1 < δ z - 1 < δ

Substituindo tudo isso na nossa expressão, temos:

2 x - 1 + y - 1 + z - 1 < 4 δ

Ou seja, partindo lá do início chegamos que:

2 x + y + z - 4 < 4 δ

Como queremos provar a nossa relação para um ε qualquer, podemos dizer que para qualquer ε escolhido existe um δ tal que:

δ = ϵ 4

Então:

2 x + y + z - 4 < 4 ⋅ δ = 4 ⋅ ϵ 4 = ϵ

Ou seja:

2 x + y + z - 4 < ϵ

E assim provamos que também existe um δ para a relação acima ser válida!

Perfeito galeraa!!

Matamos mais uma questão, obrigado pela atenção de vocês 😊

Resposta

Resposta no texto.

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Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.