Use a definição de limite e prove que:

a) lim x , y → ( 1,3 ) ⁡ 2 x + 3 y = 11

b) lim x , y → ( 1,2 ) ⁡ 3 x 2 - 2 y =   - 1

Passo 1

Faaala pessoal, tudo tranquilo?

Nessa questão temos dois itens onde precisamos calcular limite de função de duas variáveis utilizando a definição.

Então, vamos dar uma revisada na definição formal de limite:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Se e somente se:

Dado ε > 0 , existe δ > 0 tal que x , y - x 0 . y 0 < δ e x , y ∈ U tem-se f x , y - L < ε .

Simm, essa definição parece tão complexa né? Mas, vamos focar em pensar em como usamos ela pra resolver o nosso problema. Se queremos provar que:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Precisamos apenas mostrar que pra qualquer número ε > 0 que escolhermos, existe um outro número δ > 0 que iremos tomar como hipótese que obedece a:

x , y - x 0 . y 0 < δ

De modo que será verdade que:

f x , y - L < ε

Essa última relação é a que vamos querer provar no final das contas. Beleza?

Então, vamo lá!

Passo 2

Bom, vamos começar pelo item a). Queremos provar que:

lim x , y → ( 1,3 ) ⁡ 2 x + 3 y = 11

Lembrando da nossa definição formal, temos que:

x 0 , y 0 = ( 1,3 ) f x , y = 2 x + 3 y L = 11

Show, então para provar que esse limite vale 11 , precisamos provar que:

2 x + 3 y - 11 < ε

Partindo de que é verdade a relação:

x , y - 1,3 < δ

x - 1 ,   y - 3 < δ

Ou seja:

x - 1 2 + y - 3 2 < δ

Massa! Bora lá. A ideia é sempre tentarmos cair em alguma expressão que nos permita usar a relação acima. Mas, às vezes não é tão simples enxergar como encaixar a relação acima no problema.

Bom, temos que:

2 x + 3 y - 11 = 2 x - 2 + 3 y - 9

Ué, mas no que é que isso nos ajuda? Vem comigo...

2 x - 2 + 3 y - 9 = 2 x - 1 + 3 y - 3

Olha aí, já começou a aparecer algo que nos lembra a nossa expressão envolvendo δ . Agora, pensa assim:

Se

x - 1 2 + y - 3 2 < δ

Como:

x - 1 2 < x - 1 2 + y - 3 2

Temos:

x - 1 2 < δ

∴ x - 1 < δ

Da mesma forma:

y - 3 2 < δ

y - 3 < δ

Podemos usar isso na nossa expressão principal:

2 x - 1 + 3 y - 3 < 2 δ + 3 δ

2 x - 1 + 3 y - 3 < 5 δ

Perfeito! Agora é só usarmos o último truque. Como queremos provar a nossa relação para um ε qualquer, podemos dizer que para qualquer ε escolhido existe um δ tal que:

δ = ε 5

E, a partir desse δ obtido forçamos o conjunto dos ( x , y ) que satisfazem:

x - 1 2 + y - 3 2 < δ

Daí, como vimos logo antes que para um dado número δ > 0 vale que:

2 x - 1 + 3 y - 3 < 5 δ

Substituindo δ = ε 5 vamos ter:

2 x - 1 + 3 y - 3 < 5 δ = 5 ⋅ ε 5

= ε

Portanto:

2 x - 1 + 3 y - 3 < ε

Uhuuul! Com isso provamos que:

lim x , y → ( 1,3 ) ⁡ 2 x + 3 y = 11

Perfeito!!

Passo 3

No item b) precisamos mostrar que:

lim x , y → 1,2 ⁡ 3 x 2 - 2 y =   - 1

A ideia é a mesma, mas como esse limite é mais complicadinho teremos um passo a mais. Temos:

x 0 , y 0 = ( 1,2 ) f x , y = 3 x 2 - 2 y L = - 1

Show, então para provar que esse limite vale - 1 , precisamos provar que:

3 x 2 - 2 y + 1 < ε

Partindo de que é verdade a relação:

x , y - 1,2 < δ

x - 1 ,   y - 2 < δ

Ou seja:

x - 1 2 + y - 2 2 < δ

Massa! Nosso primeiro passo é achar a relação entre δ e ε .

O que vamos escrever daqui em diante é tipo um rascunho da solução, a prova efetivamente só começa no próximo passo, beleza?

Temos:

3 x 2 - 2 y + 1 = 3 x 2 - 2 y - 2 - 3

= | 3 x 2 - 1 - 2 y - 2 |

Usando a desigualdade triangular:

a + b < a + | b |

Temos:

3 x 2 - 1 - 2 y - 2 < 3 x 2 - 1 + - 2 y - 2

Colocando as constantes pra fora:

3 x 2 - 1 + - 2 y - 2 = 3 x 2 - 1 + 2 | y - 2 |

Além disso, do produto notável da diferença de quadrados temos que:

x 2 - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 )

Substituindo, vem:

3 x 2 - 1 + 2 y - 2 = 3 x + 1 x - 1 + 2 | y - 2 |

Massa! Agora podemos analisar o nosso δ .

Temos:

x - 1 2 + y - 2 2 < δ

Mas:

x - 1 2 < x - 1 2 + y - 2 2 < δ

Logo:

x - 1 < δ

De modo análogo:

y - 2 < δ

Substituindo na nossa expressão, ficamos com:

3 x + 1 x - 1 + 2 y - 2 < 3 δ x + 1 + 2 δ

Ou seja, o nosso grande problema é esse termo | x + 1 | . Pra sumir com ele vamos usar um truque bem truquento. Vamos restringir o nosso δ = 1 , na prática pegaremos o menor valor entre δ = 1 e a relação que encontraremos com ε .

Assim:

x - 1 < δ = 1

∴ - 1 < x - 1 < 1

Somando 2 em todos os lados da desigualdade, temos:

1 < x + 1 < 3

Ou seja:

x + 1 < 3

Daí, substituindo na nossa expressão, ficamos com:

3 δ x + 1 + 2 δ < 3 ⋅ δ ⋅ 3 + 2 δ

= 11 δ

Então, resumindo a história, encontramos que:

3 x 2 - 1 - 2 y - 2 < 11 δ

Daí, como queremos provar a nossa relação para um ε qualquer, podemos dizer que para qualquer ε escolhido existe um δ tal que:

δ = ε 11

Massa! Na prática temos que:

δ = min ⁡ 1 , ε 11

Agora que encontramos o δ vamos fazer a nossa prova formal no próximo passo:

Passo 4

Então vamos lá! Queremos provar que para um número ε > 0 escolhido, vale que:

3 x 2 - 2 y + 1 < ε

Vamos desenvolver o lado esquerdo até chegar na desigualdade, lembrando que partimos de que é verdade:

x - 1 2 + y - 2 2 < δ

Bora lá!

3 x 2 - 2 y + 1 = 3 x 2 - 2 y - 2 - 3

= | 3 x 2 - 1 - 2 y - 2 |

Abrindo o módulo pela desigualdade triangular:

3 x 2 - 1 - 2 y - 2 < 3 x 2 - 1 + - 2 y - 2

Fazendo algumas manipulações:

3 x 2 - 1 + - 2 y - 2 = 3 x + 1 x - 1 + 2 y - 2

E, como vimos no passo anterior, vale que:

3 x + 1 x - 1 + 2 y - 2 < 11 δ

Escolhendo então que, para qualquer ε escolhido vale:

δ = min ⁡ 1 , ε 11

Temos:

3 x + 1 x - 1 + 2 y - 2 < 11 ⋅ ε 11

= ε

Ou seja:

3 x 2 - 2 y + 1 < ε

Como queríamos demonstrar 😊

Então resumindo, sempre precisamos começar encontrando a relação entre δ e ε no nosso rascunho. E, depois provamos “formalmente”. Beleza?

É isso gente, até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.