Use a definição de limite e prove que:

c ) lim x , y → 1,1 ⁡ x 2 + y 2 = 2

d ) lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2 = 0

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem?

Nessa questão temos dois itens onde precisamos calcular limite de função de duas variáveis utilizando a definição.

Então, vamos dar uma revisada na definição formal de limite:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Se e somente se:

Dado ε > 0 , existe δ > 0 tal que x , y - x 0 . y 0 < δ e x , y ∈ U tem-se f x , y - L < ϵ .

Simm, essa definição parece tão complexa né? Mas, vamos focar em pensar em como usamos ela pra resolver o nosso problema. Se queremos provar que:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Precisamos apenas mostrar que pra qualquer número ϵ > 0 que escolhermos, existe um outro número δ > 0 que iremos tomar como hipótese que obedece a:

x , y - x 0 . y 0 < δ

De modo que será verdade que:

f x , y - L < ϵ

Essa última relação é a que vamos querer provar no final das contas. Beleza?

Então, vamo lá!

Passo 2

Bom, vamos começar pelo item c). Queremos provar que:

lim x , y → 1,1 ⁡ x 2 + y 2 = 2

Lembrando da nossa definição formal, temos que:

x 0 , y 0 = ( 1 , 1 ) f x , y = x 2 + y 2 L = 2

Show, então para provar que esse limite vale 2 , precisamos provar que:

x 2 + y 2 - 2 < ϵ

Partindo de que é verdade a relação:

x , y - 1 , 1 < δ

Ou seja:

x - 1 2 + y - 1 2 < δ

Tranquilo?!

A nossa primeira etapa é achar a relação entre δ e ϵ . Para fazer isso, nós fazemos tipo um rascunho mesmo, e buscamos encontrar a relação. Depois que a encontrarmos, fazemos a prova formal mesmo.

Temos:

x 2 + y 2 - 2 = x 2 - 1 + y 2 - 1

Pela desigualdade triangular, podemos afirmar que:

x 2 - 1 + y 2 - 1 ≤ x 2 - 1 + | y 2 - 1 |

Pela diferença de quadrados:

u 2 - 1 = u + 1 ⋅ ( u - 1 )

Usando essa ideia, vem:

x 2 - 1 + y 2 - 1 = x + 1 x - 1 + y + 1 y - 1

Mas, pela relação que envolve δ , temos:

x - 1 2 + y - 1 2 < δ

Como:

x - 1 2 < x - 1 2 + y - 1 2 < δ

Temos:

| x - 1 < δ

De modo análogo:

y - 1 < δ

Assim:

x + 1 x - 1 + y + 1 y - 1 < x + 1 ⋅ δ + y + 1 ⋅ δ

Precisamos agora conseguir tirar os termos ( x + 1 ) e ( y + 1 ) da jogada. Pra fazer isso usamos um truque bem importante de ter em mente, que é restringir δ a no máximo 1 . Assim, se:

δ = 1

∴ x - 1 < 1

Ou seja:

- 1 < x - 1 < 1

Como queremos uma relação para ( x + 1 ) , somaremos 2 em todos os lados da desigualdade:

1 < x + 1 < 3

∴ x + 1 < 3

Da mesma forma, teremos:

- 1 < y - 1 < 1

∴ y + 1 < 3

Logo, podemos dizer que:

x + 1 ⋅ δ + y + 1 ⋅ δ < 3 δ + 3 δ = 6 δ

Portanto:

x 2 + y 2 - 2 < 6 δ

Essa é a nossa deixa pra encontrar a rela��ão entre δ e ϵ . Como queremos que:

x 2 + y 2 - 2 < ϵ

Para um ϵ qualquer escolhido, podemos escolher que a relação é verdadeira tomando como δ :

δ = ϵ 11

Mas, como tínhamos restringido δ a no máximo 1 , na prática temos:

δ = min ⁡ 1 , ϵ 11

Perfeito! Agora que encontramos a relação vamos a prova mais formal. (Isso foi apenas um rascunho galera).

Passo 3

Bom, queremos provar que:

x 2 + y 2 - 2 < ϵ

Vamos desenvolver o lado esquerdo:

x 2 + y 2 - 2 = x 2 - 1 + y 2 - 1

≤ x 2 - 1 + y 2 - 1

= x + 1 x - 1 + y + 1 y - 1

Ou seja:

x 2 + y 2 - 2 ≤ x + 1 x - 1 + y + 1 y - 1

Usando a relação:

x - 1 2 + y - 1 2 < δ

Chegamos a:

x + 1 x - 1 + y + 1 y - 1 < 6 δ

∴ x 2 + y 2 - 2 < 6 δ

Como queremos provar a nossa relação para um ε qualquer, podemos dizer que para qualquer ε escolhido existe um δ tal que:

δ = min ⁡ 1 , ε 6

Se para um dado ϵ tivermos o δ = 1 , então provamos que existe um δ e finalizamos a demonstração.

Se para um dado ϵ , tivermos δ = ϵ / 6 , então:

x 2 + y 2 - 2 < 6 δ = 6 ⋅ ϵ 6 = ϵ

Ou seja:

x 2 + y 2 - 2 < ϵ

E assim provamos que também existe um δ para a relação acima ser válida!

É isso aí gente! Muito bom 😊

Passo 4

Vamos agora para o item d). É o mesmo raciocínio, beleza?

Queremos provar que:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2 = 0

Lembrando do nosso teorema, temos que:

x 0 , y 0 = ( 0 , 0 ) f x , y = x 3 + y 3 x 2 + y 2 L = 0

Show, então para provar que esse limite vale 0 , precisamos provar que:

x 3 + y 3 x 2 + y 2 - 0 < ϵ

Partindo de que é verdade a relação:

x , y - 0 , 0 < δ

Ou seja:

x 2 + y 2 < δ

Tranquilo?!

Esse limite é um pouquinho mais tranquilo, então não precisamos fazer o rascunho para a relação entre δ e ϵ , dá pra fazer tudo em um mesmo passo. Vê só, queremos desenvolver:

x 3 + y 3 x 2 + y 2

Mas, sabendo que:

x 2 + y 2 < δ

Podemos fazer:

x 2 + y 2 = x 2 + y 2 3 x 2 + y 2 2

Mas,

x 2 3 x 2 + y 2 2 = x 3 x 2 + y 2 < x 2 + y 2 3 x 2 + y 2 2

< δ

Logo:

x 3 x 2 + y 2 < δ

De forma análoga, temos também que:

y 3 ( x 2 + y 2 ) < δ

Daí:

x 3 + y 3 x 2 + y 2 = x 3 x 2 + y 2 + y 3 ( x 2 + y 2 )

Usando a desigualdade triangular:

x 3 x 2 + y 2 + y 3 ( x 2 + y 2 ) ≤ x 3 x 2 + y 2 + y 3 ( x 2 + y 2 )

E, substituindo cada um desses termos pelas desigualdades que encontramos anteriormente:

x 3 x 2 + y 2 + y 3 ( x 2 + y 2 ) < δ + δ = 2 δ

Ou seja, mostramos que:

x 3 + y 3 x 2 + y 2 < 2 δ

Como queremos provar a nossa relação para um ε qualquer, podemos dizer que para qualquer ε escolhido existe um δ tal que:

δ = ϵ 2

Assim, provamos que:

x 3 + y 3 x 2 + y 2 < 2 ⋅ ϵ 2

⇒ x 3 + y 3 x 2 + y 2 < ϵ

Aeee! Com isso concluímos a nossa prova!

Muito bom pessoal! É isso aí 😊

Resposta

Resposta no texto.

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Para o limite x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.