Use a definição de limite e prove que:

e ) lim x , y → 2,3 ⁡ ( 2 x 2 - y 2 ) = - 1

f ) lim x , y → 1,0 ⁡ ( x 2 - 1 ) = 0

Passo 1

E aí galerinha, tudo na paz por aí?

Nessa questão temos dois itens onde precisamos calcular limite de função de duas variáveis utilizando a definição.

Então, vamos dar uma revisada na definição formal de limite:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Se e somente se:

Dado ε > 0 , existe δ > 0 tal que x , y - x 0 . y 0 < δ e x , y ∈ U tem-se f x , y - L < ϵ .

Simm, essa definição parece tão complexa né? Mas, vamos focar em pensar em como usamos ela pra resolver o nosso problema. Se queremos provar que:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Precisamos apenas mostrar que pra qualquer número ϵ > 0 que escolhermos, existe um outro número δ > 0 que iremos tomar como hipótese que obedece a:

x , y - x 0 . y 0 < δ

De modo que será verdade que:

f x , y - L < ϵ

Essa última relação é a que vamos querer provar no final das contas. Beleza?

Então, vamo lá!

Passo 2

Começando pelo item e), queremos provar que:

lim x , y → 2,3 ⁡ 2 x 2 - y 2 = - 1

Lembrando da nossa definição formal, temos que:

x 0 , y 0 = ( 2,3 ) f x , y = 2 x 2 - y 2 L = - 1

Show, então para provar que esse limite vale 2 , precisamos provar que:

2 x 2 - y 2 + 1 < ϵ

Partindo de que é verdade a relação:

x , y - 2 , 3 < δ

Ou seja:

x - 2 2 + y - 3 2 < δ

Tranquilo?!

A nossa primeira etapa é achar a relação entre δ e ϵ . Para fazer isso, nós fazemos tipo um rascunho mesmo, e buscamos encontrar a relação. Depois que a encontrarmos, fazemos a prova formal mesmo.

Temos:

2 x 2 - y 2 + 1

Vamos manipular o lado esquerdo tentando fazer algo parecido com a relação que temos para δ . Assim:

2 x 2 - y 2 + 1 = 2 x 2 - 4 - y 2 - 9

Usando a desigualdade triangular:

a + b ≤ a + b

Então:

2 x 2 - 4 - y 2 - 9 ≤ 2 x 2 - 4 + - 1 y 2 - 9

Colocando as constantes para fora do módulo:

2 x 2 - 4 + - 1 y 2 - 9 = 2 x 2 - 4 + y 2 - 9

Mas, pela diferença de quadrados, podemos escrever que:

x 2 - 4 = x + 2 x - 2 y 2 - 9 = y + 3 y - 3

Assim:

2 x 2 - 4 + y 2 - 9 = 2 x + 2 x - 2 + y + 3 y - 3

Massa! Até está correndo tudo bem, né? Pra relacionar com δ vamos usar que:

x - 2 2 + y - 3 2 < δ

Assim:

x - 2 2 < x - 2 2 + y - 3 2 < δ

∴ x - 2 < δ

Analogamente:

y - 3 < δ

Substituindo na nossa expressão, temos:

2 x + 2 x - 2 + y + 3 y - 3 < 2 δ ⋅ x + 2 + δ ⋅ y + 3

Ou seja, resumindo todas essas manipulações conseguimos chegar que:

2 x 2 - y 2 + 1 < 2 δ ⋅ x + 2 + δ ⋅ y + 3

Precisamos agora conseguir tirar os termos ( x + 2 ) e ( y + 3 ) da jogada. Pra fazer isso usamos um truque bem importante de ter em mente, que é restringir δ a no máximo 1 . Assim, se:

δ = 1

∴ x - 2 < 1

Ou seja:

- 1 < x - 2 < 1

Como queremos uma relação para ( x + 2 ) , somaremos 4 em todos os lados da desigualdade:

3 < x + 2 < 5

∴ x + 2 < 5

Da mesma forma, teremos:

- 1 < y - 3 < 1

∴ y + 3 < 7

Substituindo, temos:

2 δ ⋅ x + 2 + 2 δ ⋅ y + 3 < 2 δ ⋅ 5 + δ ⋅ 7

∴ 2 x 2 - y 2 + 1 < 17 δ

Essa é a nossa deixa pra encontrar a relação entre δ e ϵ . Como queremos que:

2 x 2 - y 2 + 1 < ϵ

Para um ϵ qualquer escolhido, podemos escolher que a relação é verdadeira tomando como δ :

δ = ϵ 1 7

Mas, como tínhamos restringido δ a no máximo 1 , na prática temos:

δ = min ⁡ 1 , ϵ 1 7

Perfeito! Agora que encontramos a relação vamos a prova mais formal. (Isso foi apenas um rascunho galera).

Passo 3

Bom, queremos provar que:

2 x 2 - y 2 + 1 < ϵ

Vamos desenvolver o lado esquerdo:

2 x 2 - y 2 + 1 = 2 x 2 - 4 - y 2 - 9  

≤ 2 x 2 - 4 + y 2 - 9

= 2 x 2 - 4 + y 2 - 9

Assim, usando a nossa relação que envolve δ temos:

2 x 2 - y 2 + 1 < 2 δ ⋅ x + 2 + δ ⋅ y + 3

Restringindo δ a no máximo 1 :

2 x 2 - y 2 + 1 < 17 δ

Como queremos provar a nossa relação para um ε qualquer, podemos dizer que para qualquer ε escolhido existe um δ tal que:

δ = min ⁡ 1 , ε 17

Se para um dado ϵ tivermos o δ = 1 , então provamos que existe um δ e finalizamos a demonstração.

Se para um dado ϵ , tivermos δ = ϵ / 17 , então:

2 x 2 - y 2 + 1 < 17 δ = 17 ⋅ ϵ 17 = ϵ

Ou seja:

2 x 2 - y 2 + 1 < ϵ

E assim provamos que também existe um δ para a relação acima ser válida!

É isso aí gente! Muito bom 😊

Passo 4

Vamos agora resolver o item f ) .

Queremos provar que:

lim x , y → 1,0 ⁡ ( x 2 - 1 ) = 0

Lembrando do nosso teorema, temos que:

x 0 , y 0 = ( 1 , 0 ) f x , y = x 2 - 1 L = 0

Show, então para provar que esse limite vale 0 , precisamos provar que:

x 2 - 1 - 0 < ϵ

Partindo de que é verdade a relação:

x , y - 1 , 0 < δ

Ou seja:

( x - 1 ) 2 + y 2 < δ

Tranquilo?!

Novamente, vamos achar a relação entre δ e ϵ fazendo um rascunho e depois fazemos a prova formal.

x 2 - 1 - 0 = x + 1 x - 1

Da relação envolvendo δ , temos vem que:

x - 1 2 < ( x - 1 ) 2 + y 2 < δ

∴ x - 1 < δ

Assim:

x + 1 x - 1 < x + 1 ⋅ δ

Pra remover o | x + 1 | vamos novamente usar o truque de restringir δ a no máximo 1 .

Assim:

x - 1 < δ

Fazendo δ = 1 :

- 1 < x - 1 < 1

Como queremos chegar em x + 1 , podemos somar duas unidades em toda a desigualdade:

1 < x + 1 < 3

Logo>

x + 1 < 3

Substituindo:

x + 1 ⋅ δ < 3 δ

Ou seja:

x 2 - 1 - 0 < 3 δ

Essa é a nossa deixa pra encontrar a relação entre δ e ϵ . Como queremos que:

x 2 - 1 - 0 < ϵ

Para um ϵ qualquer escolhido, podemos escolher que a relação é verdadeira tomando como δ :

δ = ϵ 3

Mas, como tínhamos restringido δ a no máximo 1 , na prática temos:

δ = min ⁡ 1 , ϵ 3

Perfeito! Agora que encontramos a relação vamos a prova mais formal. (Isso foi apenas um rascunho galera).

Passo 5

Bom, queremos provar que:

x 2 - 1 - 0 < ϵ

Vamos desenvolver o lado esquerdo:

x 2 - 1 - 0 = x + 1 x - 1

Usando a relação envolvendo δ :

x + 1 x - 1 < x + 1 ⋅ δ

E:

x + 1 ⋅ δ < 3 δ

∴ x 2 - 1 - 0 < 3 δ

Como queremos provar a nossa relação para um ε qualquer, podemos dizer que para qualquer ε escolhido existe um δ tal que:

δ = min ⁡ 1 , ε 3

Se para um dado ϵ tivermos o δ = 1 , então provamos que existe um δ e finalizamos a demonstração.

Se para um dado ϵ , tivermos δ = ϵ / 3 , então:

x 2 - 1 - 0 < 3 δ = 3 ⋅ ϵ 3 = ϵ

Ou seja:

x 2 - 1 - 0 < ϵ

E assim provamos que também existe um δ para a relação acima ser válida!

É isso aí gente! Muito bom 😊

Valeeeeeu, até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Para o limite x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.