Use a definição de limite e prove que:

g ) lim x , y → ( 3 , - 1 ) ⁡ ( x 2 + y 2 - 4 x + 2 y ) = - 4

h ) lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ y 3 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2 = 0

Passo 1

Faaaala galera, tudo na paz?

Nessa questão temos dois itens onde precisamos calcular limite de função de duas ou mais variáveis utilizando a definição.

Então, vamos dar uma revisada na definição formal de limite para funções de duas variáveis (depois adaptamos para o limite envolvendo f ( x , y , z ) :

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Se e somente se:

Dado ε > 0 , existe δ > 0 tal que x , y - x 0 . y 0 < δ e x , y ∈ U tem-se f x , y - L < ϵ .

Simm, essa definição parece tão complexa né? Mas, vamos focar em pensar em como usamos ela pra resolver o nosso problema. Se queremos provar que:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Precisamos apenas mostrar que pra qualquer número ϵ > 0 que escolhermos, existe um outro número δ > 0 que iremos tomar como hipótese que obedece a:

x , y - x 0 . y 0 < δ

De modo que será verdade que:

f x , y - L < ϵ

Essa última relação é a que vamos querer provar no final das contas. Beleza?

Então, vamo lá!

Passo 2

Começando pelo item g ) , queremos provar que:

lim x , y → ( 3 , - 1 ) ⁡ ( x 2 + y 2 - 4 x + 2 y ) = - 4

Lembrando da nossa definição formal, temos que:

x 0 , y 0 = ( 3 , - 1 ) f x , y = x 2 + y 2 - 4 x + 2 y L = - 4

Show, então para provar que esse limite vale - 4 , precisamos provar que:

x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 4 < ϵ

Partindo de que é verdade a relação:

x , y - 3 , - 1 < δ

Ou seja:

x - 3 2 + y + 1 2 < δ

Tranquilo?!

A nossa primeira etapa é achar a relação entre δ e ϵ . Para fazer isso, nós fazemos tipo um rascunho mesmo, e buscamos encontrar a relação. Depois que a encontrarmos, fazemos a prova formal mesmo.

Temos:

x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 4 = x 2 - 4 x + y 2 + 2 y + 4

Queremos fazer aparecer algo semelhante ao que temos na relação que envolve δ . Daí, podemos fazer:

x 2 - 4 x + y 2 + 2 y + 4 = x 2 - 4 x + 3 + y 2 + 2 y + 1

Podemos fatorar:

x 2 - 4 x + 3 = ( x - 3 ) ( x - 1 ) y 2 + 2 y + 1 = y + 1 2

Substituindo:

x 2 - 4 x + 3 + y 2 + 2 y + 1 = x - 3 x - 1 + y + 1 2

Usando a desigualdade triangular:

a + b ≤ a + b

Temos:

x - 3 x - 1 + y + 1 2 ≤ x - 3 x - 1 + | y + 1 2 |

Maaas, da relação envolvendo δ podemos escrever que:

x - 3 2 + y + 1 2 < δ

Daí, como:

x - 3 2 < x - 3 2 + y + 1 2

Temos:

x - 3 < δ

De forma análoga, temos também:

y + 1 < δ

Assim, voltando na nossa desigualdade teremos:

x - 3 x - 1 + y + 1 2 < δ ⋅ x - 1 + δ ⋅ y + 1

“Po, até entendi, mas porque não substituímos o outro | y + 1 | por δ também?”

É que complica bastante se aparecer δ ao quadrado. Então, vamos usar um truque pra matar tanto o | x - 1 | como | y + 1 | , beleza?

A ideia é restringir δ a no máximo 1 . Assim:

x - 3 < δ

Fazendo δ = 1 :

∴ - 1 < x - 3 < 1

Somando duas unidades em toda a desigualdade:

1 < x - 1 < 3

⇒ x - 1 < 3

De modo análogo, após restringirmos o δ temos também que:

y + 1 < 1

Substituindo tudo isso na nossa expressão, vem:

δ ⋅ x - 1 + δ ⋅ y + 1 < 3 δ + δ ⋅ 1 = 4 δ

Ou seja, concluímos que:

x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 4 < 4 δ

Essa é a nossa deixa pra encontrar a relação entre δ e ϵ . Como queremos que:

x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 4 < ϵ

Para um ϵ qualquer escolhido, podemos escolher que a relação é verdadeira tomando como δ :

δ = ϵ 4

Mas, como tínhamos restringido δ a no máximo 1 , na prática temos:

δ = min ⁡ 1 , ϵ 4

Perfeito! Agora que encontramos a relação vamos a prova mais formal. (Isso foi apenas um rascunho galera).

Passo 3

Bom, queremos provar que:

x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 4 < ϵ

Desenvolvendo o lado esquerdo, temos:

x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 4 = x 2 - 4 x + 3 + y 2 + 2 y + 1

= x - 3 x - 1 + y + 1 2  

≤ x - 3 x - 1 + y + 1 2

Usando a relação envolvendo δ :

x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 4 <   δ ⋅ x - 1 + δ ⋅ y + 1

Restringindo o valor de δ a no máximo 1 , vem:

x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 4 < 4 δ

Como queremos provar a nossa relação para um ε qualquer, podemos dizer que para qualquer ε escolhido existe um δ tal que:

δ = min ⁡ 1 , ε 4

Se para um dado ϵ tivermos o δ = 1 , então provamos que existe um δ e finalizamos a demonstração.

Se para um dado ϵ , tivermos δ = ϵ / 4 , então:

x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 4 < 4 δ = 4 ⋅ ϵ 4 = ϵ

Ou seja:

x 2 + y 2 - 4 x + 2 y + 4 < ϵ

E assim provamos que também existe um δ para a relação acima ser válida!

É isso aí gente! Muito bom 😊

Passo 4

Vamos agora para o item h ) . Queremos provar que:

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ y 3 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2 = 0

Como temos uma função de 3 variáveis, temos que adaptar um pouquinho. Continuamos precisando mostrar que existe um δ que torna a relação abaixo verdadeira:

f x , y , z - L < ϵ

y 3 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2 - 0 < ϵ

Maaas, o que muda um pouco é a nossa relação envolvendo δ , pois agora temos:

x , y , z - 0,0 , 0 < δ

Ou seja:

x 2 + y 2 + z 2 < δ

Tranquilo? Então vamo lá!

Esse caso é um pouquinho mais simples e não precisamos primeiro achar a relação entre δ e ϵ . Podemos fazer tudo junto. Vê só. Queremos provar que existe um δ que torna verdade para qualquer ϵ :

y 3 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2 < ϵ

Vamos manipular o lado esquerdo para conseguir provar essa relação:

y 3 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2 = y 3 x 2 + y 2 + z 2 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2

Usando a desigualdade triangular:

y 3 x 2 + y 2 + z 2 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2 ≤ y 3 x 2 + y 2 + z 2 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2

Show! Vamo dar uma olhada na nossa relação envolvendo δ agora:

x 2 + y 2 + z 2 < δ

Mas, vocês concordam que:

x 2 + y 2 + z 2 3 x 2 + y 2 + z 2 2 = x 2 + y 2 + z 2

Assim:

x 2 + y 2 + z 2 3 x 2 + y 2 + z 2 2 < δ

Maaaaas, também podemos escrever que:

y 2 3 x 2 + y 2 + z 2 2 < x 2 + y 2 + z 2 3 x 2 + y 2 + z 2 2 < δ

Ou seja:

y 3 x 2 + y 2 + z 2 2 < δ

A relação análoga também é válida para x e z , assim:

x 3 x 2 + y 2 + z 2 2 < δ

⇒ x < δ ⋅ x 2 + y 2 + z 2 2 1 3

Analogamente:

z < δ ⋅ x 2 + y 2 + z 2 2 1 3

∴ z 2 < δ ⋅ x 2 + y 2 + z 2 2 2 3

Daí, substituindo todas essas relações na nossa expressão principal teremos que:

y 3 x 2 + y 2 + z 2 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2 < δ + δ �� x 2 + y 2 + z 2 2 1 3 ⋅ δ ⋅ x 2 + y 2 + z 2 2 2 3 x 2 + y 2 + z 2

= δ + δ ⋅ x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2

Ou seja, após todas essas contas, a conclusão que chegamos é que:  

y 3 x 2 + y 2 + z 2 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2 < δ + δ = 2 δ

Como queremos provar a nossa relação para um ε qualquer, podemos dizer que para qualquer ε escolhido existe um δ tal que:

δ = ϵ 2

Então:

y 3 x 2 + y 2 + z 2 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2 < 2 ⋅ δ = 2 ⋅ ϵ 2 = ϵ

Ou seja:

y 3 x 2 + y 2 + z 2 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2 < ϵ

E assim provamos que também existe um δ para a relação acima ser válida!

Prontinho! Com isso finalizamos a nossa demonstração!

Muito obrigado pela atenção pessoal 😊  

Resposta

Resposta no texto.

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