Use a definição de limite e prove que:

k ) lim x , y → 1 , - 2 ⁡ ( x 2 - y 2 ) = - 3

l ) lim x , y → 1,2 ⁡ 2 x - 1 2 y - 2 3 x - 1 2 + 3 y - 2 2 = 0

Passo 1

Ooii pessoal, tudo tranquilo com vocês?

Nessa questão temos dois itens onde precisamos calcular limite de função de duas variáveis utilizando a definição.

Então, vamos dar uma revisada na definição formal de limite:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Se e somente se:

Dado ε > 0 , existe δ > 0 tal que x , y - x 0 . y 0 < δ e x , y ∈ U tem-se f x , y - L < ϵ .

Simm, essa definição parece tão complexa né? Mas, vamos focar em pensar em como usamos ela pra resolver o nosso problema. Se queremos provar que:

lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = L

Precisamos apenas mostrar que pra qualquer número ϵ > 0 que escolhermos, existe um outro número δ > 0 que iremos tomar como hipótese que obedece a:

x , y - x 0 . y 0 < δ

De modo que será verdade que:

f x , y - L < ϵ

Essa última relação é a que vamos querer provar no final das contas. Beleza?

Então, vamo lá!

Passo 2

Começando pelo item k ) , queremos provar que:

lim x , y → 1 , - 2 ⁡ x 2 - y 2 = - 3

Lembrando da nossa definição formal, temos que:

x 0 , y 0 = ( 1 , - 2 ) f x , y = x 2 - y 2 L = - 3

Show, então para provar que esse limite vale 0 , precisamos provar que:

x 2 - y 2 + 3 < ϵ

Partindo de que é verdade a relação:

x , y - 1 , - 2 < δ

Ou seja:

( x - 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 < δ

Tranquilo?!

A nossa primeira etapa é achar a relação entre δ e ϵ . Para fazer isso, nós fazemos tipo um rascunho mesmo, e buscamos encontrar a relação. Depois que a encontrarmos, fazemos a prova formal mesmo.

Temos:

x 2 - y 2 + 3 = x 2 - 1 - y 2 - 4

Usando a desigualdade triangular:

a + b ≤ a + b

x 2 - 1 - y 2 - 4 ≤ x 2 - 1 + | - 1 y 2 - 4 |

Usando a fatoração da diferença de quadrados e colocando a constante ( - 1 ) para fora em módulo, temos:

x 2 - 1 + - 1 y 2 - 4 = x + 1 x - 1 + | y + 2 y - 2 |

Da nossa relação envolvendo δ , temos:

x - 1 2 < ( x - 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 < δ

Ou seja:

x - 1 < δ

Analogamente:

y + 2 < δ

Substituindo na nossa expressão, vem:

x + 1 x - 1 + y + 2 y - 2 < δ ⋅ x + 1 + δ ⋅ | y - 2 |

Precisamos agora conseguir tirar os termos ( x + 1 ) e ( y - 2 ) da jogada. Pra fazer isso usamos um truque bem importante de ter em mente, que é restringir δ a no máximo 1 . Assim, se:

δ = 1

∴ x - 1 < 1

Ou seja:

- 1 < x - 1 < 1

Como queremos uma relação para ( x + 1 ) , somaremos2 4 em todos os lados da desigualdade:

1 < x + 1 < 3

∴ | x + 1   | < 3

Da mesma forma, teremos:

- 1 < y + 2 < 1

∴ - 5 < y - 2 < - 3

Logo:

y - 2 < 5

Substituindo, temos:

δ ⋅ x + 1 + δ ⋅ y - 2 < 3 δ + 5 δ = 8 δ

Ou seja, concluímos que:

x 2 - y 2 + 3 < 8 δ

Essa é a nossa deixa pra encontrar a relação entre δ e ϵ . Como queremos que:

x 2 - y 2 + 3 < ϵ

Para um ϵ qualquer escolhido, podemos escolher que a relação é verdadeira tomando como δ :

δ = ϵ 8

Mas, como tínhamos restringido δ a no máximo 1 , na prática temos:

δ = min ⁡ 1 , ϵ 8

Perfeito! Agora que encontramos a relação vamos a prova mais formal. (Isso foi apenas um rascunho galera).

Passo 3

Bom, queremos provar que existe um δ que satisfaz:

x 2 - y 2 + 3 < ϵ

Vamos então manipular o lado esquerdo:

x 2 - y 2 + 3 = x 2 - 1 - y 2 - 4

≤ x 2 - 1 + | y 2 - 4 |

x + 1 x - 1 + y + 2 y - 2

Usando a relação que envolve δ :

x 2 - y 2 + 3 < δ ⋅ x + 1 + δ ⋅ y - 2

Restringindo δ a no máximo 1 :

x 2 - y 2 + 3 < 8 δ

Como queremos provar a nossa relação para um ε qualquer, podemos dizer que para qualquer ε escolhido existe um δ tal que:

δ = min ⁡ 1 , ε 8

Se para um dado ϵ tivermos o δ = 1 , então provamos que existe um δ e finalizamos a demonstração.

Se para um dado ϵ , tivermos δ = ϵ / 8 , então:

x 2 - y 2 + 3 < 8 δ = 8 ⋅ ϵ 8 = ϵ

Ou seja:

x 2 - y 2 + 3 < ϵ

E assim provamos que também existe um δ para a relação acima ser válida!

É isso aí gente! Muito bom 😊

Passo 4

Vamos agora matar o item l ) . Queremos provar que:

lim x , y → 1,2 ⁡ 2 x - 1 2 y - 2 3 x - 1 2 + 3 y - 2 2 = 0

Lembrando da nossa definição formal, temos que:

x 0 , y 0 = ( 1,2 ) f x , y = 2 x - 1 2 y - 2 3 x - 1 2 + 3 y - 2 2 L = 0

Show, então para provar que esse limite vale 0 , precisamos provar que:

2 x - 1 2 y - 2 3 x - 1 2 + 3 y - 2 2 - 0 < ϵ

Partindo de que é verdade a relação:

x , y - 1,2 < δ

Ou seja:

( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 < δ

Tranquilo?!

Bom, vamos então manipular a nossa expressão:

2 x - 1 2 y - 2 3 x - 1 2 + 3 y - 2 2 - 0

Até conseguirmos provar a relação.

2 x - 1 2 y - 2 3 x - 1 2 + 3 y - 2 2 - 0 = 2 3 ⋅ x - 1 2 y - 2 x - 1 2 + y - 2 2

= 2 3 x - 1 2 + y - 2 2 ⋅ | x - 1 2 y - 2 |

Beleza! Vamos olhar um pouco pra expressão de δ agora:

( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 < δ

Podemos escrever que:

x - 1 2 + y - 2 2 3 x - 1 2 + y - 2 2 2 = x - 1 2 + y - 2 2 < δ

Mas, temos também que:

x - 1 2 3 x - 1 2 + y - 2 2 2 < x - 1 2 + y - 2 2 3 x - 1 2 + y - 2 2 2 < δ

Assim, chegamos que:

x - 1 3 x - 1 2 + y - 2 2 2 > δ

∴ | x - 1 | < δ ⋅ x - 1 2 + y - 2 2 2 1 3  

Por fim:

x - 1 2 < δ ⋅ x - 1 2 + y - 2 2 2 2 3

Analogamente, temos também que:

| y - 2 | < δ ⋅ x - 1 2 + y - 2 2 2 1 3  

Massa! A partir dessas desigualdades, podemos voltar na nossa expressão principal para substituir:

2 3 x - 1 2 + y - 2 2 ⋅ x - 1 2 y - 2

<   2 3 x - 1 2 + y - 2 2 ⋅ δ ⋅ x - 1 2 + y - 2 2 2 2 3 ⋅ δ ⋅ x - 1 2 + y - 2 2 2 1 3

=   2 3 x - 1 2 + y - 2 2 ⋅ δ ⋅ x - 1 2 + y - 2 2 2

= 2 δ 3

Ou seja, concluímos que:

2 x - 1 2 y - 2 3 x - 1 2 + 3 y - 2 2 - 0 < 2 δ 3

Como queremos provar a nossa relação para um ε qualquer, podemos dizer que para qualquer ε escolhido existe um δ tal que:

δ = 3 ϵ 2

Então:

2 x - 1 2 y - 2 3 x - 1 2 + 3 y - 2 2 - 0 < 2 δ 3 = 2 ⋅ 3 ϵ 2 = ϵ

Ou seja:

2 x - 1 2 y - 2 3 x - 1 2 + 3 y - 2 2 - 0 < ϵ

E assim provamos que também existe um δ para a relação acima ser válida!

Prontinho! Com isso finalizamos a nossa demonstração!

Muito obrigado pela atenção pessoal 😊  

Até a próxima!!

Resposta

Resposta no texto.

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