Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

Passo 1

Vamos começar interpretando essa primeira frase do enunciado aí:

" A   d e n s i d a d e   e m   q u a l q u e r   p o n t o   é   p r o p o r c i o n a l   à   d i s t â n c i a   d o   p o n t o   a o   e i x o   z "

A distância de um ponto ao eixo z pode ser dado por Pitágoras:

d = x 2 + y 2

Então a densidade, em termos “matemáticos” é essa distância vezes uma constante de proporcionalidade que vamos chamar de k , assim

δ x , y , z = k x 2 + y 2

E sabemos que a massa de um sólido pode ser dada por

M = ∭ W δ x , y , z d V

Vamos tentar visualizar o nosso solido agora então, temos a região entre dois cilindros, embaixo do cone z 2 = x 2 + y 2 e em cima de z = 0 .

É válido lembrar que, a ideia de um esboço na sua prova é te ajudar a identificar a região de integração! Ou seja, se você não conseguir fazer o desenho na hora, tenta esboçar qualquer coisa que te ajude a visualizar =D

Nessa questão aqui se o esboço 3 D estiver muito complicado, tenta ver alguma coisa parecida no 2 D que geralmente é mais simples, tipo isso aqui

Com esse esboço mais simples, dá pra ver que a região de interesse está com z entre z = 0 e o cone, logo

0 ≤ z ≤ x 2 + y 2

E x y estão entre os cilindros, logo

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra facilitar nosso trabalho aqui, vamos escrever tudo isso em coordenadas cilíndricas, pra isso:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

x 2 + y 2 = r 2

J = r

Aplicando nos limites que temos:

0 ≤ z ≤ r 2

0 ≤ z ≤ r

Agora em x y

1 ≤ r 2 ≤ 2

1 ≤ r ≤ 2

Como temos o cilindro dando a volta completa no espaço, os limites de θ são

0 ≤ θ ≤ 2 π

Pra fechar, só falta a gente escrever a densidade em coordenadas cilíndricas também

δ = k x 2 + y 2

δ = k r

Assim, não se esquecendo de multiplicar tudo pelo jacobiano r , temos

M = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 r k r r d z d r d θ

Passo 3

Começando pela integral em z

M = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 k r 2 z z = 0 z = r d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 1 2 k r 2 r - 0 d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 1 2 k r 3 d r d θ

Integrando em r

= ∫ 0 2 π k r 4 4 1 2 d θ

= ∫ 0 2 π k 4 4 - 1 d θ

= ∫ 0 2 π 3 k 4 d θ

Por fim, integrando em θ

= 3 k 4 2 π

M = 3 2 k π

Resposta

3 2 k π

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