Considere o cone z 2 = x 2 + y 2 .

b) Usando obrigatoriamente uma integral tripla, calcule o volume do sólido que se encontra no primeiro octante e é limitado pela superfície z 2 = x 2 + y 2 e o plano z = 2 .

Passo 1

Queremos calcular um volume de uma região entre duas superfícies. A gente pode fazer isso usando a integral tripla:

∫ ∫ ∫ V 1 d x d y d z

Sendo que V é a região entre as superfícies.

No primeiro octante, nosso cone está virado para cima. E a gente pode escrever ele como a superfície

z 2 = x 2 + y 2 ∴ z = ± x 2 + y 2 ∴ z = x 2 + y 2

Isso porque no primeiro octante, a gente tem z ≥ 0 .

Como ele está virado para cima, a única forma de termos uma região fechada é se o cone limitar E por baixo e o plano z = 2 limitar essa região por cima.

Podemos fazer o gráfico dessas duas superfícies juntinhas para confirmar isso

Bora ver como fazer o que o enunciado está pedindo. Vem comigo!

Passo 2

A gente tem que descrever o domínio V , que é essa região com formato de um cone maciço.

Percebe que a gente consegue limitar z de maneira tranquila entre duas funções, já que a nossa região está limitada por baixo por z = x 2 + y 2 e por cima por z = 2 :

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2

E percebe também que a interseção dessas duas superfícies é uma circunferência paralela ao plano x y . Essas são dicas de que a gente vai usar as coordenadas cilíndricas para descrever esse domínio.

Isso significa que a gente vai aplicar as transformações:

x = r cos ⁡ θ ,   y = r   s e n   θ ,   z = z

x 2 + y 2 = r 2

j a c = r

Então para escrever os extremos de integração, limitamos essas variáveis que a gente tem: z ,   θ e r .

Já limitamos z , mas ele está entre funções de x e y . Precisamos aplicar nossas transformações para ele ficar entre funções de r e θ :

x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2

r 2 ≤ z ≤ 2

r ≤ z ≤ 2

Agora tá belezinha!

Passo 3

E θ e r ? Definir elas é parecido com definir uma região em x y por coordenadas polares. Precisamos achar essa circunferência de interseção entre as superfícies:

x 2 + y 2 = 2 ∴ x 2 + y 2 = 2 2

A gente vê que toda nossa região (quando a gente olha para x y ) está contida dentro dessa circunferência. Então a gente pode dizer que:

x 2 + y 2 ≤ 2 2

Mas lembra que a gente está no primeiro octante, onde x ≥ 0 ,   y ≥ 0 . Esboçando esse domínio, a gente teria:

Como θ é o ângulo que sai do eixo x no sentido anti-horário, para o nosso caso, ele está limitado assim

0 ≤ θ ≤ π 2

E como r é um segmento que sai da origem e ai até a borda do círculo, que tem raio r = 2 :

0 ≤ r ≤ 2

Passo 4

Agora é montar a integral. Primeiro a gente substitui nossa transformação no nosso integrando:

x = r cos ⁡ θ ,   y = r   s e n   θ ,   z = z

∫ ∫ ∫ V 1 d x d y d z

∫ ∫ ∫ V 1 d z d r d θ

Depois a gente multiplica ele por j a c = r

∫ ∫ ∫ V r d z d r d θ

Aí a gente pode colocar nossos extremos de integração:

r ≤ z ≤ 2

0 ≤ r ≤ 2 ,     0 ≤ θ ≤ π 2

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ r 2 r d z d r d θ

Passo 5

Bora calcular essa belezura:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ r 2 r d z d r d θ

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r z r 2 d r d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 2 r - r 2 d r d θ

∫ 0 π 2 r 2 - r 3 3 0 2 d θ = ∫ 0 π 2 4 - 8 3 d θ = π 2 4 - 8 3

V o l u m e = 2 π 3

Conseguimos! Uhul!

Resposta

V o l u m e = 2 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )