Calcule ∫ ∫ ∫ R z d x d y d z , onde R é limitada por:

  1. x 2 9 + y 2 4 = 1 + z 2 , x 2 9 + y 2 4 = 4 + z 2 2 , para z ≥ 0 .

Passo 1

Olá meu caro amigo, agora é hora de colocar a mão na massa e resolver uma bela integral tripla. Iremos antes de tudo dar uma olhada na carinha da região R e depois vamos pensar em alguma parametrização interessante.

A região R �� essa ai, com um adicional que queremos apenas a parte z ≥ 0 , então apenas a parte de cima.

Passo 2

Uma parametrização legal para usarmos é a seguinte

x = 3 r cos ⁡ θ y = 2 r sin ⁡ θ z = z

E o nosso querido jacobiano é

J = 6 r

Os limites de integração iremos descobrir com a parametrização

1 + z 2 ≤ r ≤ 4 + z 2 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

1 + z 2 = 4 + 1 2 z 2 → 1 2 z 2 = 3 →   - 6 ≤ z ≤ 6

Como queremos apenas z ≥ 0

0 ≤ z ≤ 6

Passo 3

Hora de montar e calcular a integral

m = ∫ 0 2 π ∫ 0 6 ∫ 1 + z 2 4 + z 2 2 6 z r d r d θ d z

= ∫ 0 2 π ∫ 0 6 6 ∙ z 2 4 + z 2 2 - 1 + z 2 d z d θ

= 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 6 ( 3 z - 1 2 z 3 )   d z

= 3 ∫ 0 2 π [ 3 2 ∙ 6 - 1 2 ∙ 1 4 ∙ 6 2 ] d θ

= 3 ∙ 2 π 9 - 9 2 = 2 7 π

Resposta

27 π

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )