4. Seja T o sólido interior ao cone x 2 + y 2 = 3 z 2 abaixo do plano z = 1 e considere a integral

I = ∭ T x 2 + y 2 d V

a) Forneça uma expressão para I em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, foi dado um solido T que é obtido pela parte interna do cone x 2 + y 2 = 3 z 2 e abaixo do plano z = 1 .

A partir dessa região, temos que calcular a integral I em que

I = ∭ T x 2 + y 2 d V

Em coordenadas cilíndricas.

Lembra como fazemos isso? 🤔🤔

Quando temos um sistema de coordenadas x y z e temos que converter esse sistema para coordenadas cilíndricas r θ z , temos que reescrever x e y de outra forma.

No caso, x → r c o s θ e y → r s e n θ . Dessa forma, quando temos x 2 + y 2 , em cilíndricas temos r 2 , ou seja, x 2 + y 2 = r 2 .

Mas antes, vamos começar o problema visualizando o solido T .

Bora lá? 😁

Passo 2

T é delimitado por x 2 + y 2 = 3 z 2 e z = 1 . Isolando z na primeira equação, temos

z 2 = x 2 + y 2 3

z = x 2 + y 2 3

Se esboçássemos os gráficos dessas equações, íamos obter algo parecido com

Nessa imagem, vemos que z varia de 1 a x 2 + y 2 3 e como o cone está centrado na origem que faz uma volta completa nesse ponto, a variação de θ é de 0 a 2 π .

Mas e r ? Varia de quanto a quanto?

No ponto máximo, z = 1 = x 2 + y 2 3 , se x 2 + y 2 = r 2 como dizemos antes, então

1 = r 2 3

1 = r 3

r = 3

Ou seja, r = 3 quando r está em seu valor máximo.

Já no ponto mínimo de z , é em z = 0 , que é justamente na pontinha do cone

z = 0 = r 2 3

r = 0

Assim, vemos que r varia de 3 a 0 na nossa integral.

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Montando a nossa integral, temos d V = r d z d r d θ , onde r é o jacobiano que não podemos esquecer quando fazemos essa transformação de coordenadas.

I = ∭ T x 2 + y 2 d V

I = ∭ T r 2 r d z d r d θ

Aplicando os limites de integração que obtemos no passo anterior e simplificando a função de integração, temos

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ x 2 + y 2 3 1 r 2 d z d r d θ

Já podemos converter o limite inferior de d z para cilíndrica também

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ r 3 1 r 2 d z d r d θ

Como não temos z para integrar, r 2 se comporta como uma constante, então a integral de uma constante é dada por...

∫ r 2 d z = r 2 z

Aplicando os limites de integração

∫ r 3 1 r 2 d z = r 2 1 - r 2 r 3 = r 2 - r 3 3

Substituindo esse resultado em I

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 - r 3 3 d r d θ

Interessante, não é? 😎

Passo 4

Agora integrando com relação a r , vamos aplicar o método de integração polinomial.

∫ r 2 - r 3 3 d r = r 2 + 1 2 + 1 - r 3 + 1 3 3 + 1 = r 3 3 - r 4 4 3

Aplicando os limites de integração de d r , temos

∫ 0 3 r 2 - r 3 3 d r = 3 3 3 - 3 4 4 3 - 0 3 3 - 0 4 4 3

∫ 0 3 r 2 - r 3 3 d r = 3 3 3 3 - 3 3 3 3 4 3 - 0 - 0

Simplificando e fazendo 3 3 = 3

∫ 0 3 r 2 - r 3 3 d r = 3 3 3 - 3 3 4 = 4 3 4 - 3 3 4

∫ 0 3 r 2 - r 3 3 d r = 3 4

Substituindo esse resultado em I

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 - r 3 3 d r d θ

I = ∫ 0 2 π 3 4 d θ

E como 3 4 é uma constante, a integral de uma constante é dada por

∫ 3 4 d θ = 3 4 θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 3 4 d θ = 3 4 2 π - 3 4 0

∫ 0 2 π 3 4 d θ = 3 π 2

Com isso, vemos que nossa integral I , dado os limites do solido T , resulta em

I = ∭ T x 2 + y 2 d V = 3 π 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

I = ∭ T x 2 + y 2 d V = 3 π 2

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )