Calcule

∫ ∫ y   d A D

Onde D = x , y ∈ R 2 | x 2 + 4 y 2 ≤ 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla:

∫ ∫ y   d A D

Onde D = x , y ∈ R 2 | x 2 + 4 y 2 ≤ 1 .

Perceba que a região D trata-se de uma região circular. Assim, vale a pena a gente alterar para coordenadas polares!!

Lembrando que nas coordenadas polares, temos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

J = r

Assim, para definir os limites de integração, vamos observar o gráfico de x 2 + 4 y 2 ≤ 1 :

Assim, podemos concluir que:

  • r varia de 0 a 1 ;
  • θ varia de 0 a 2 π .

Assim, temos a nossa integral:

∫ ∫ y   d A D = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 sin ⁡ θ d r d θ

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a d r ,vamos pegar essa integral:

∫ 0 1 r 2 sin ⁡ θ d r

= sin ⁡ θ ∫ 0 1 r 2 d r ∴

= sin ⁡ θ r 3 3 1 0 ∴

= sin ⁡ θ 3

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa e resolvendo, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 sin ⁡ θ d r d θ = ∫ 0 2 π sin ⁡ θ 3 d θ ∴

= 1 3 ∫ 0 2 π sin ⁡ θ d θ ∴

= 1 3 - cos ⁡ θ 2 π 0 ∴

= 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ ∫ y   d A D = 0

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Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )