3. Encontre a área da parte do paraboloide

z = 9 - x 2 - y 2

Que está acima do plano z = 0 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós precisamos calcular a área de uma região. Então vamos começar esboçando ela.

O problema já nos informou que é paraboloide, cuja a equação é:

z = 9 - x 2 - y 2

Ou seja, ele estará ao longo do eixo z . Mas o problema, nos deu outra informação, disse que ele é limitado em z = 0 , ou seja, vamos colocar uma tampa ali. Ficará assim:

Repara que o plano azul corta o nosso paraboloide vermelho em z = 0 e temos um topo em z = 9 .

Agora vamos integrar essa região para achar o volume!

Passo 2

No passo anterior esboçamos a figura, agora precisamos montar a integral para achar seu volume.

Bom, o volume de um sólido pode ser calculado por

V = ∫ d V = ∭ E   d x d y d z

Agora olhando para figura vamos delimitar esse região!

Repara que a superfície vermelha é o paraboloide e azul é o plano que limita ela.

Como podemos ver, no plano x y , temos um domínio D . Em z , o sólido é limitado embaixo pelo paraboloide z = 0 e em cima pelo cone z = 9 - x 2 - y 2 . Vamos, então, escrever essa região como tipo I:

E = { ( x , y , z ) | x , y ∈ D ;   0 ≤ z ≤ 9 - x 2 - y 2 }

Passo 3

Agora precisamos descrever o domínio D . Para isso, faremos um esboço da projeção do sólido plano x y (fazendo a interseção da equação do paraboloide com z = 9 e olhando de cima):

Em z = 0 , a superfície se encontra. Em z = 9 temos uma circunferência de raio 3. Então, se a projetarmos no plano x y , teremos a figura acima. Se substituirmos esse valor nas equações das superfícies, encontramos, de fato, x 2 + y 2 = 9 .

Como se trata de uma circunferência, vamos escrevê-la com coordenadas polares:

D = { ( x , y ) | 0 ≤ r ≤ 3 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos:

∬ D   ∫ 0 9 - x 2 - y 2 d z d A

Deixamos para escrever os intervalos de D depois para não gerar confusão, pois teremos que fazer a mudança para coordenadas polares.

Integrando em relação a z , temos:

= ∬ D   z | 0 9 - x 2 - y 2 9 d A =

= ∬ D   9 - x 2 - y 2 d A =

∬ D   9 - ( x 2 + y 2 d A

Passo 5

Agora vamos descrever a região D fazendo a mudança para coordenadas polares (não se esqueça do Jacobiano!). Lembre-se também de que x 2 + y 2 = r 2 .

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 - r 2 r d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 r - r 3 d r d θ =

Integrando em relação a r :

= ∫ 0 2 π 9 r 2 2 - r 4 4 | r = 0 r = 3 d θ =

= 81 4 ∫ 0 2 π d θ =

Finamente, integramos em relação a θ :

= 81 θ 4 | 0 2 π =

= 81 π 2

Prontinho!

Resposta

V = ∭ E   d x d y d z = 81 π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )