(Capítulo 15.8 – Exercício 24) Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide z = x 2 + y 2 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 .

Passo 1

E aíí galera, vamos lá pra mais uma??

Queremos determinar o volume do sólido que está entre o paraboloide z = x 2 + y 2 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 , e para isso vamos usar integrais triplas

Mas antes vamos analisar o domínio desse sólido, pra aí sabermos quais são os limites de integração, fechou?

Passo 2

Temos uma integral tripla do tipo I. Como o sólido está limitado acima pela esfera e abaixo pelo paraboloide, temos:

∭ E d V

∬ D ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 d z d A

Percebam que o limite superior foi obtido ao isolarmos o z na equação da esfera.

O questionamento agora é: quem é a região D ?

Ela é obtida a partir da projeção do nosso sólido no plano x y . Para obtermos esta projeção, basta igualarmos o valor de z das duas equações (paraboloide e esfera). Portanto, temos:

z c o n e 2 = z e s f e r a 2

x 2 + y 2 2 = 2 - x 2 - y 2

Passando para coordenadas polares, temos:

r 4 + r 2 - 2 = 0

r 2 + 2 ⋅ r 2 - 1 = 0

Como r > 0 e pertence aos números reais, a única solução se dá quando:

r = 1

Portanto a interseção das duas superfícies é uma circunferência de raio 1 e centro na origem. Passando a nossa função para coordenadas cilíndricas, temos que resolver a seguinte integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 2 - r 2 r d z d r d θ

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 2 - r 2 r d z d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r z r 2 2 - r 2 d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 - r 2 - r 3 d r d θ

∫ 0 2 π - 1 3 ⋅ 2 - r 2 3 / 2 - r 4 4 0 1 d θ

∫ 0 2 π - 1 3 - 1 4 - - 2 2 3 d θ

∫ 0 2 π 8 2 - 7 12 d θ

Então, temos

π 8 2 - 7 6

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 2 - r 2 r d z d r d θ = π 8 2 - 7 6

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )