(Capítulo 15.7 – Exercício 22) Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

O sólido limitado pelo cilindro x 2 + z 2 = 4 e pelos planos y = - 1 e y + z = 4

Passo 1

Faaala pessoal, vamos lá pra mais uma!

Queremos usar a integral tripla pra calcular o volume do sólido. E esse sólido é limitado pelo cilindro x 2 + z 2 = 4 e pelos planos y = - 1 e y + z = 4

Então pensa num cilindro ao longo do eixo y e com raio de base igual a 2 .   Pensou? Ok!

Esse cilindro vai ser delimitado em cima e embaixo pelos planos y = - 1 e y + z = 4 . Ou seja, embaixo ele vai ser cortado por um plano horizontal e em cima por um plano inclinado. Show?

Precisamos entender primeiramente qual o domínio que estamos trabalhando, ok? Podemos fazer isso analisando os limitadores do sólido e aí vendo com qual tipo de região estamos lidando

Vamos lá

Passo 2

Analisando em relação ao eixo y , considerando que a direção pra cima é a positiva, então, o nosso sólido é limitado acima pelo plano y + z = 4 e abaixo pelo plano y = - 1 . Além disto, ele é limitado lateralmente pelo plano x 2 + z 2 = 4 , certo?

Isto implica no fato que temos uma região do tipo II, que em y variam entre duas funções e são limitadas por uma área D no plano y z . Portanto, temos:

- 1 ≤ y ≤ 4 - z

E em z vamos ter os seguintes limites de integração, definidos pela expressão dos cilindros

- 4 - x 2 < z < 4 - x 2

E em x , os limites são definidos pelo raio, que é igual a 2 .

Então, temos que resolver essa integral aqui

V o l u m e = ∭ E d V = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ∫ - 1 4 - z 1   d y d z d x

Então boraaa!

Passo 3

Observem que, no plano x z temos uma circunferência x 2 + z 2 = 4 . Vamos escrever então, ao invés de coordenadas x e z , no sistema de coordenadas polares. Portanto,

x = 2 cos ⁡ θ

z = 2 sen ⁡ θ

Fazendo esta mudança, temos a seguinte integral:

V o l u m e = ∭ E d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ - 1 4 - 2 sen ⁡ θ r   d y d r d θ

Passo 4

Precisamos começar integrando a variável y Portanto,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ - 1 4 - 2 sen ⁡ θ r   d y d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r   y - 1 4 - 2 sen ⁡ θ d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r   5 - 2 sen ⁡ θ d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 5 r - 2 r sin ⁡ θ d r d θ

Passo 5

Agora, precisamos integrar em relação a r . Logo,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 5 r - 2 r sin ⁡ θ d r d θ = ∫ 0 2 π 5 r 2 2 - r 2 sen ⁡ θ 0 2 d θ

∫ 0 2 π ( 10 - 4 sen ⁡ θ ) d θ

Passo 6

Por fim, basta integrarmos em relação a θ .

∫ 0 2 π ( 10 - 4 sen ⁡ θ ) d θ = 10 θ + 4 cos ⁡ θ 0 2 π

20 π + 4 - 0 + 4 = 20 π

Então, o volume do sólido é 20 π

Resposta

V o l u m e = 20 π

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )