Calcule o volume do sólido que está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = z .

Passo 1

Tá, antes de mais nada vamos tentar melhorar um pouco essa equação da esfera, para facilitar o esboço da superfície:

x 2 + y 2 + z 2 = z

Vamos tentar completar quadrados:

x 2 + y 2 + z 2 - z = 0

Se a gente somar 1 / 4 dos dois lados:

x 2 + y 2 + z 2 - z + 1 4 = 1 4

Agora aparece um produto notável ali no final:

z - 1 2 2 = z 2 - z + 1 4

Então:

x 2 + y 2 + z - 1 2 2 = 1 4

Beleza, assim fica mais fácil de entender a situação. Essa é a equação de uma esfera com centro em 0 ,   0 , 1 2 e com raio 1 2 :

Passo 2

Agora vamos desenhar isso junto com o cone z = x 2 + y 2 . É só lembrar que essa é a equação de um conte “de cabeça pra baixo”, com o vértice na origem:

E o objetivo é calcular o volume que fica acima desse cone e abaixo dessa esfera.

Pra fazer isso, nosso primeiro passo vai ser encontrar o ponto em que essas duas superfícies se encontram.

A equação do cone é:

z = x 2 + y 2         ⇒         x 2 + y 2 = z 2           z > 0

Substituindo isso na equação da esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = z

z 2 + z 2 = z

2 z 2 = z

Então, como z ≠ 0 , a única solução é:

z = 1 2

Ok, então o cone corta a esfera exatamente na metade.

Passo 3

Para começar a calcular o volume, vamos primeiro olhar para a parte que está abaixo daquele plano em z = 1 / 2 .

Ou seja, vamos pegar o volume que está dentro da esfera e limitado pelo cone.

Nesse trecho vale a pena usar coordenadas cilíndricas:

V 1 = ∭ d V

No caso desse sistema de coordenadas:

d V = ρ   d ρ d φ d z

Onde ρ = x 2 + y 2 é o raio a partir do eixo z , φ é o ângulo de rotação ao longo do plano x y e z é simplesmente a coordenada z , a mesma das coordenadas retangulares.

Então:

V 1 = ∭ ρ   d ρ d φ d z

No caso do nosso cone, é fácil definir os intervalos de z e φ só pelo desenho:

0 ≤ z ≤ 1 2

0 ≤ φ ≤ 2 π

Ou seja:

V 1 = ∫ 0 1 / 2 ∫ 0 2 π ∫ ρ ρ   d ρ d φ d z

Mas e o raio ρ ? Pra isso precisamos usar a equação do cone:

z = x 2 + y 2

Essa é exatamente a definição do raio ρ , então a equação do cone em coordenadas cilíndricas é:

z = ρ

Então os limites de integração do raio ρ são:

0 ≤ ρ ≤ z

Ou seja:

V 1 = ∫ 0 1 / 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 z ρ   d ρ d φ d z

Ok, agora vamos integrar.

Passo 4

O primeiro passo é integrar em relação a ρ :

∫ 0 z ρ   d ρ = 1 2 ρ 2 z 0 = 1 2 z 2

Substituindo na integral:

V 1 = ∫ 0 1 / 2 ∫ 0 2 π 1 2 z 2   d φ d z

Integrando em relação a φ :

∫ 0 2 π 1 2 z 2   d φ

Nesse caso todos os termos dentro da integral são “constantes”, então:

∫ 0 2 π 1 2 z 2   d φ = 1 2 z 2 ∫ 0 2 π d φ = 1 2 z 2 2 π - 0 = π z 2

Voltando na integral:

V 1 = ∫ 0 1 / 2 π z 2   d z

E finalmente, integrando em relação a z :

V 1 = 1 3 π z 3 1 / 2 0 = 1 3 π 1 2 3 = π 24

Beleza, esse é o volume do cone logo abaixo do plano z = 1 / 2 .

Passo 5

Com isso fica faltando só aquela meia esfera que está acima do plano, mas esse volume a gente pode calcular usando a fórmula:

V 2 = 1 2 V e s f e r a

V 2 = 1 2 4 3 π r 3

E o raio é r = 1 / 2 , então:

V 2 = 1 2 4 3 π 1 2 3 = 1 2 4 24 π = π 12

E então, para encontrar o volume total do sólido, é só somar esses dois:

V T = V 1 + V 2

V T = π 24 + π 12 = 3 π 24

V T = π 8

Pronto!

Resposta

O volume do sólido é π / 8 .

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )