Sabendo que a densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo z,

determine a massa do sólido cortado do cilindro espesso 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 pelo cone z 2 = x 2 + y 2 e delimitado inferiormente por z = 0 .

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou traduzir para você!

O problema começa dizendo que a densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo z: aqui ele está nos dando indiretamente (como ela se comporta ponto a ponto) como é a densidade de um sólido (que mais tarde ele vai perguntar qual é a massa)

Aí depois ele já fala: calcule massa do sólido: integral! Mas integrar o que? Segue lendo comigo...

E sólido é o resultado do corte (ou seja, da região compreendida) entre o cilindro espesso (aqui a dica é usar coordenadas cilíndricas, já que temos um cilindro... e espesso queremos mesmo o volume de tudo, não só a parte oca) de equação

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2

E pelo cone

z 2 = x 2 + y 2

E delimitado inferiormente pelo plano x y , ou seja, por z = 0 .

Então a ideia aqui é a partir das informações que o problema deu encontrar uma forma para a densidade ( ρ ) do material e encontrar também a região ( R ) no espaço que delimita seu volume ( V ) . Aí para calcular a massa M de qualquer corpo vamos usar que

M = ∭ R ρ d V

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa primeira missão é encontrar a forma da densidade. O problema nos diz que ela é proporcional à distância de um ponto até o eixo z , vamos ver como fica isso graficamente?

Vamos analisar um ponto qualquer P ( 3,4 , 2 ) como mostrado ali em cima. Sua altura em relação ao eixo z não contabiliza para o cálculo da distância, já que queremos a menor distância entre o ponto P e o eixo z. Por isso podemos projetar a distância de P no plano x y (em cinza) e ver que forma um triângulo retângulo com as projeções das ordenadas x e y

Aí podemos dizer que nossa densidade ρ é:

ρ = k x 2 + y 2

Aquele k é só uma constante de proporcionalidade, já que o problema não falou nada, podemos assumir que é uma constante qualquer

E já vou colocar em coordenadas cilíndricas, pois nossa integral vai estar nesse tipo de coordenada:

ρ = k r 2 = k r

Tranquilo até aqui?

Beleza?

Passo 3

Agora vamos determinar qual é a região desse sólido!

Temos um cilindro bem definido no espaço:

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2

E sabemos que em coordenadas cilíndricas x 2 + y 2 = r 2 , assim conseguimos encontrar os limites para r :

1 ≤ r 2 ≤ 2

1 ≤ r ≤ 2

E lembrando que um cilindro é redondo (assim como o cone) então o ângulo θ vai variar

0 ≤ θ ≤ 2 π

Beleza?

Agora vamos olhar para o cone! Falta identificarmos os limites para z ! O cone tem a seguinte equação:

z 2 = x 2 + y 2

E em cilíndricas:

z 2 = r 2 ∴ z = r

E ele é delimitado inferiormente por z = 0 , então

0 ≤ z ≤ r

Bem mais simples né?

Vamos integrar essa coisa agora?

Passo 4

Agora vamos montar e resolver a integral!

A massa do nosso sólido é:

M = ∭ R ρ d V

Sabemos que a densidade é ρ = k r . O diferencial de volume em cilíndricas é

d V = r   d z d r d θ

E a região R é delimitada por:

1 ≤ r ≤ 2 0 ≤ z ≤ r 0 ≤ θ ≤ π

Agora é só montar!

M = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 r k r r d z d r d θ = k ∫ 0 2 π d θ ⋅ ∫ 1 2 r 2 d r ∫ 0 r d z

Como r , z independem de θ , podemos trazer aquele d θ direto para a última integral e resolver em conjunto. Agora #partiu resolver?

A massa é:

M = k θ 0 2 π . ∫ 1 2 r 2 . r z = 0 r d r = k 2 π 3 ∫ 1 2 r 3 d r

E por fim

M = 2 k π r 4 4 1 2 = k π 2 2 4 - 1 4 = 3 k π 2

Ufa! Terminamos!

E é isso! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

3 k π 2  

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )