Questão 3. Calcule a integral tripla

∭ E   2 z   d V

onde

E = x ,   y ,   z ∈ R 3   : x 2 + y 2 ≤ 1   ,   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4   ,   z ≥ 0 .

Passo 1

Bem, para calcularmos essa integral em cima de E , é muito legal que tenhamos um esboço dele, veja só! :D

Primeiro desenhe a esfera de raio 2   ( x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ) centrada na origem:

Agora, corte esse pedacinho de esfera aí pelo cilindro ( x 2 + y 2 ≤ 1 ) de raio 1 :

Ahhhh! Lembre-se de que estamos acima do plano x y , heim ;)

Passo 2

Pow! estamos dentro de um cilindro, então nada mais justo que pensarmos na mudança para coordenadas cilíndricas, certo?

Então troquemos...

x = r cos ⁡ θ  

y = r sin ⁡ θ

z = z

O Jacobiano continua o mesmo:

J = r

Como sempre, só terminamos uma troca depois que verificamos onde cada um desses novos termo ( r ,   θ   e   z ) variam!

Passo 3

No caso, r é bem easy de se encontrar, afinal de contas ele é o cara que está variando da origem até a casca do cilindro vermelho:

0 ≤ r ≤ 1

θ , easy também, pois como ele gira ao redor do eixo z no plano x y , vemos que ele precisa dar uma volta completa, logo

0 ≤ θ ≤ 2 π

Em relação a ultima variável, o z , perceba que ele varia de uma base até um teto:

B a s e ≤ z ≤ T e t o

0 ≤ z ≤ E s f e r a   A z u l

como a esfera azul é x 2 + y 2 + z 2 = 4 , isolando...

z = 4 - x 2 + y 2

0 ≤ z ≤ 4 - x 2 + y 2

Sim, estamos em outras coordenadas agora, então

0 ≤ z ≤ 4 - r 2

Passo 4

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ E   2 z   d V

Lembre-se de substituir pelas coordenadas cilíndricas e não deixar de multiplicar pelo J a c o b i a n o ;)

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 4 - r 2 2 z   J d z d r d θ =

Resolvendo a integral de dentro...

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r ∫ 0 4 - r 2 2 z   d z d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 z 2 2 0 4 - r 2 d r d θ =

substituindo e simplificando...

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 - r 2 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 - r 2 d r d θ =

em seguida calculando a integral do meio

∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r - r 3 d r d θ =

∫ 0 2 π 4 r 2 2 - r 4 4 0 1 d θ =

∫ 0 2 π 2 - 1 4 d θ =

Chegamos a...

7 4 ∫ 0 2 π d θ = 7 2 π

Resposta

7 2 π

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )