Calcule o volume do sólido W , sabendo que W é a região contida em R 3 cujos pontos ( x , y , z ) satisfazem x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 e x 2 + y 2 ≥ a | x | , sendo a uma constante maior que zero.

Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido.

A equação x 2 + y 2 + z 2 = a 2 se refere a uma esfera de raio a .

Vamos agora analisar a expressão x 2 + y 2 = a | x | . Perceba que ela deve ser dividida em duas, pois, se:

  1. x ≥ 0 , temos x = x e a equação se torna x 2 - a x + y 2 = 0   → x - a / 2 2 + y 2 = a 2 / 4 . Após completar o quadrado, vemos que é a equação de um cilindro de raio a / 2 centrado em ( a / 2 ,   0 ,   z )
  2. x ≤ 0 , temos x = - x e a equação se torna x 2 + a x + y 2 = 0   → x + a / 2 2 + y 2 = a 2 / 4 . Essa é a equação de um cilindro que também possui raio a / 2 , mas está centrado em ( - a / 2 ,   0   , z )

Então, a região do problema será representada assim:

A região vista de cima.

Note que essa região W pode ser dividida em 8 partes de volumes iguais, cada uma delas em um octante. Então, vamos calcular o volume da região contida no 1 º (onde x ,   y ,   z ≥ 0 ) e multiplicar por 8 . Chamaremos essa região de R .

V = ∭ W   d x d y d z = 8 ∭ R   d x d y d z

Passo 2

Agora precisamos descrever matematicamente essa região R , certo? Em coordenadas cartesianas isso parece um pouco complicado, então, como temos um cilindro e as equações que delimitam R possuem termos quadráticos, vamos tentar as coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Fazendo essa substituição na equação da esfera, temos:

r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 + z 2 = a 2   → z = a 2 - r 2

Como estamos nos referindo apenas ao 1º octante, temos 0 ≤ z ≤ a 2 - r 2

Pelo próprio gráfico, já vemos que 0 ≤ θ ≤ π / 2 (o que equivale a 1 / 4 de circunferência). Resta, agora, descobrir o intervalo de r . Para isso, vamos fazer a substituição cilíndrica na equação do cilindro x - a / 2 2 + y 2 = a 2 / 4 :

( r cos ⁡ θ - a / 2 ) 2   + r sen ⁡ θ 2 = a 2 / 4

r 2 cos 2 ⁡ θ - a r cos ⁡ θ + a 2 / 4 + r 2 sen 2 ⁡ θ = a 2 / 4

r 2   = a r cos ⁡ θ   →   r   = a cos ⁡ θ

Esse termo cos ⁡ θ ” apareceu porque o cilindro não está centrado na origem, como os que vimos até agora, então, a distância da sua superfície ao eixo z varia de acordo com θ .

Os valores de r variam desde a superfície do cilindro até a da esfera, certo? Então temos r ≥ a cos ⁡ θ , mas qual o seu valor máximo? Perceba que para qualquer ângulo θ , a esfera tem a como distância máxima até o eixo z , exatamente seu raio. Podemos ver isso fazendo sua interseção com o plano z = 0 , onde seu raio é máximo:

r 2 + z 2 = a 2   → r 2 = a 2   → r = a

A região D será, então, escrita como:

D = { ( r , θ , z ) | ; 0 ≤ θ ≤ π / 2 ; a cos ⁡ θ ≤ r ≤ a   0 ≤ z ≤ a 2 - r 2 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

8 ∫ 0 π / 2 ∫ a cos ⁡ θ a ∫ o a 2 - r 2 r d z d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= 8 ∫ 0 π / 2 ∫ a cos ⁡ θ a r z z = 0 z = a 2 - r 2 d r d θ =

= 8 ∫ 0 π / 2 ∫ a cos ⁡ θ a r a 2 - r 2 d r d θ =

Passo 6

Fazendo a substituição a 2 - r 2 = u , temos - 2 r d r = d u e a integral passa a ser:

= - 8 2 ∫ 0 π / 2 ∫ ( 1 - cos 2 ⁡ θ ) a 2 0 u d u d θ =

= - 4 ∫ 0 π / 2 2 3 u 3 / 2 u = a 2 sen 2 ⁡ θ u = 0 d θ =

= - 8 3 ∫ 0 π / 2 - a 2 sen 2 ⁡ θ 3 / 2 d θ =

= 8 a 3 3 ∫ 0 π / 2 sen 3 ⁡ θ d θ =

Passo 7

Essa integral pode ser rearrumada como:

= 8 a 3 3 ∫ 0 π / 2 sen ⁡ θ ( 1 - cos 2 ⁡ θ ) d θ =

Agora, se fizermos a substituição cos ⁡ θ = v , temos – sen ⁡ θ d θ = d v e a integral passa a ser:

= - 8 a 3 3 ∫ 1 0 ( 1 - v 2 ) d v =

= 8 a 3 3 v 3 3 - v 1 0 =

= 8 a 3 3 0 — - 2 3 1 0 =

Resposta

16 a 3 9

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )