Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2011.2, Questão 1

Calcule o volume do sólido W , sabendo que W é a região contida em R 3 cujos pontos ( x , y , z ) satisfazem x 2 + y 2 + z 2 a 2 e x 2 + y 2 a | x | , sendo a uma constante maior que zero.

Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido.

A equação x 2 + y 2 + z 2 = a 2 se refere a uma esfera de raio a .

Vamos agora analisar a expressão x 2 + y 2 = a | x | . Perceba que ela deve ser dividida em duas, pois, se:

  1. x 0 , temos x = x e a equação se torna x 2 - a x + y 2 = 0   x - a / 2 2 + y 2 = a 2 / 4 . Após completar o quadrado, vemos que é a equação de um cilindro de raio a / 2 centrado em ( a / 2 ,   0 ,   z )
  2. x 0 , temos x = - x e a equação se torna x 2 + a x + y 2 = 0   x + a / 2 2 + y 2 = a 2 / 4 . Essa é a equação de um cilindro que também possui raio a / 2 , mas está centrado em ( - a / 2 ,   0   , z )

Então, a região do problema será representada assim:

A região vista de cima.

Note que essa região W pode ser dividida em 8 partes de volumes iguais, cada uma delas em um octante. Então, vamos calcular o volume da região contida no 1 º (onde x ,   y ,   z 0 ) e multiplicar por 8 . Chamaremos essa região de R .

V = W   d x d y d z = 8 R   d x d y d z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos descrever matematicamente essa região R , certo? Em coordenadas cartesianas isso parece um pouco complicado, então, como temos um cilindro e as equações que delimitam R possuem termos quadráticos, vamos tentar as coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Fazendo essa substituição na equação da esfera, temos:

r cos θ 2 + r sen θ 2 + z 2 = a 2   z = a 2 - r 2

Como estamos nos referindo apenas ao 1º octante, temos 0 z a 2 - r 2

Pelo próprio gráfico, já vemos que 0 θ π / 2 (o que equivale a 1 / 4 de circunferência). Resta, agora, descobrir o intervalo de r . Para isso, vamos fazer a substituição cilíndrica na equação do cilindro x - a / 2 2 + y 2 = a 2 / 4 :

( r cos θ - a / 2 ) 2   + r sen θ 2 = a 2 / 4

r 2 cos 2 θ - a r cos θ + a 2 / 4 + r 2 sen 2 θ = a 2 / 4

r 2   = a r cos θ     r   = a cos θ

Esse termo cos θ ” apareceu porque o cilindro não está centrado na origem, como os que vimos até agora, então, a distância da sua superfície ao eixo z varia de acordo com θ .

Os valores de r variam desde a superfície do cilindro até a da esfera, certo? Então temos r a cos θ , mas qual o seu valor máximo? Perceba que para qualquer ângulo θ , a esfera tem a como distância máxima até o eixo z , exatamente seu raio. Podemos ver isso fazendo sua interseção com o plano z = 0 , onde seu raio é máximo:

r 2 + z 2 = a 2   r 2 = a 2   r = a

A região D será, então, escrita como:

D = { ( r , θ , z ) | ; 0 θ π / 2 ; a cos θ r a   0 z a 2 - r 2 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

8 0 π / 2 a cos θ a o a 2 - r 2 r d z d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= 8 0 π / 2 a cos θ a r z z = 0 z = a 2 - r 2 d r d θ =

= 8 0 π / 2 a cos θ a r a 2 - r 2 d r d θ =

Passo 6

Fazendo a substituição a 2 - r 2 = u , temos - 2 r d r = d u e a integral passa a ser:

= - 8 2 0 π / 2 ( 1 - cos 2 θ ) a 2 0 u d u d θ =

= - 4 0 π / 2 2 3 u 3 / 2 u = a 2 sen 2 θ u = 0 d θ =

= - 8 3 0 π / 2 - a 2 sen 2 θ 3 / 2 d θ =

= 8 a 3 3 0 π / 2 sen 3 θ d θ =

Passo 7

Essa integral pode ser rearrumada como:

= 8 a 3 3 0 π / 2 sen θ ( 1 - cos 2 θ ) d θ =

Agora, se fizermos a substituição cos θ = v , temos sen θ d θ = d v e a integral passa a ser:

= - 8 a 3 3 1 0 ( 1 - v 2 ) d v =

= 8 a 3 3 v 3 3 - v 1 0 =

= 8 a 3 3 0 - 2 3 1 0 =

Resposta

16 a 3 9

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