Use integração tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies 2 z 2 = x 2 + y 2 e x 2 + y 2 - z 2 = 1 .

Passo 1

Cara, vamos entender que região é essa. Temos essa equação

2 z 2 = x 2 + y 2

Como a gente tem dois termos ao quadrado somados de um lado e um termo ao quadrado do outro lado, a gente entende que isso é um cone, e ele passa pela origem (só ver que o ponto 0,0 , 0 satisfaz a equação dele).

Já a outra

x 2 + y 2 - z 2 = 1

Ela parece muito com a equação de uma esfera, né? Mas repara que o termo z está negativo. Isso mostra que isso não é uma esfera, mas um hiperboloide de uma folha (aquele que parece um tronco de árvore). E o eixo dele é o z .

Colocando essas duas coisas num gráfico, para ter uma ideia da região que a gente quer o volume

O volume limitado por essas duas superfícies ao mesmo tempo é a região que está fora do cone (essa superfície vermelhinha) e dentro do hiperboloide (a azul).

E repara que a região é simétrica em relação ao plano x y , então a gente só precisa calcular o volume da parte de cima desse plano e multiplicar por 2 .

Já que a gente sacou isso, bora entender como aplicar as coordenadas cilíndricas aí!

Passo 2

A gente tem que descrever essa região, acima do plano x y , que vamos chamar de nosso domínio D .

Mas a gente vai descrever essa região D por coordenadas cilíndricas. Isso significa que a gente vai aplicar as transformações:

x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     z = z

j a c = r

Então para escrever os extremos de integração, limitamos essas variáveis que a gente tem: z ,   θ e r .

Vamos começar observando a variável z . Nesse eixo, vemos que nossa região está entre o plano x y , ou seja, z = 0 e a altura z onde nossas superfícies se interceptam.

A gente pode tentar achar que valor de z é a partir das nossas equações:

2 z 2 = x 2 + y 2 ,     x 2 + y 2 - z 2 = 1

Da primeira equação

x 2 + y 2 - z 2 = 1 ∴ x 2 + y 2 = 1 + z 2

E voltando para a segunda

2 z 2 = x 2 + y 2 ∴ 2 z 2 = 1 + z 2 ∴ z 2 = 1 ∴ z = ± 1

Como nossa altura está acima de z = 0 , podemos dizer que nosso valor é z = 1 .

Então podemos escrever:

0 ≤ z ≤ 1

Passo 3

E θ e r ? A gente sabe que r é o segmento que sai da origem. Então para limitar ele, vamos pensar assim: vimos que nossa região está dentro do hiperboloide. Isso significa que nosso r só pode ir até essa superfície. Logo, ela limita o valor máximo desse segmento. Então vamos escrever

r ≤ h i p e r b o l o i d e

E a gente também viu que a nossa região está fora do cone. Isso significa que o tamanho do nosso r , para percorrer nossa região, precisa ser maior que o cone. Então vamos escrever:

c o n e ≤ r ≤ h i p e r b o l o i d e

Agora a gente precisa das expressões do cone e do hiperboloide em função de θ e z (nossas novas variáveis, além de r ) para colocar ali, né? Cara, aqui a gente vai ter que substituir as nossas expressões da mudança de coordenadas nas nossas equações das superfícies, e isolar r .

x 2 + y 2 = r 2 ,     x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     z = z

- No cone

2 z 2 = x 2 + y 2 ∴ 2 z 2 = r 2 ∴ r = z 2

Como r é sempre positivo, não precisamos nos preocupar com a parte negativa da raiz que tiramos ali.

- No hiperboloide:

x 2 + y 2 - z 2 = 1 ∴ r 2 - z 2 = 1 ∴ r = 1 + z 2

Agora a gente pode substituir essas expressões no nosso raciocínio ali

z 2 ≤ r ≤ 1 + z 2

E como não há mais restrições ou equações, podemos assumir:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Belezinha?

Passo 4

Agora é montar a integral. Para calcular o volume precisamos calcular a integral tripla de 1 . Nosso domínio é D . Mas vimos que isso é a metade da nossa região. Então precisamos calcular:

V = 2 ∫ ∫ ∫ D 1 d V

Mas essa integral está em x , y , z e precisamos mudar ela para r , θ , z . Vamos multiplicar o integrando por j a c = r :

V = 2 ∫ ∫ ∫ D r d V

Aí a gente pode colocar nossos extremos de integração:

0 ≤ z ≤ 1

z 2 ≤ r ≤ 1 + z 2 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ z 2 1 + z 2 r   d r d z d θ

Como r está entre funções, precisamos integrar em relação a ele primeiro.

Passo 5

Bora calcular essa belezura:

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ z 2 1 + z 2 r   d r d z d θ = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 2 z 2 1 + z 2 d z d θ

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + z 2 2 - 2 z 2 2 d z d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + z 2 - 2 z 2   d z d θ

V = ∫ 0 2 π z + z 3 3 - 2 3 z 3 0 1 d θ = ∫ 0 2 π 1 + 1 3 - 2 3 d θ = 4 3 π

Conseguimos!

Resposta

V = 4 3 π

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )