Utilize as coordenadas cilíndricas

x = r c o s ( θ ) y = r s e n ( θ ) z = z

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ , r s e n θ , z r d V

Onde R = (   x = r c o s ( θ ,   y = r s e n θ , z   )   ∈ R / ( r , θ , z )   ∈ R '

b )   ∭ R x 2 + y 2 d V   onde R é a região contida dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 2 = 16 entre os planos z=-5 até z=4

Passo 1

Bem pessoas, essa é uma questão padrão de integração tripla. Ele não deu a integral bonitinha, então precisamos desenhar o domínio de integração, para após resolver utilizando a mudança de coordenadas para as cilíndricas.

Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.

Você lembra deles?

CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrário vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?

Então vaaaaaaaaaaaamos lá

Passo 2

Analisando o cilindro nos vemos que ele tem um raio igual a 4 e cresce infinitamente ao longo de z.

Porém ele é cortado por 2 planos, então o desenho disso deve ser algo mais ou menos assim:

Então nossa integralzinha deve ficar uma circunferência no plano ( x , y ) e vai crescer entre esses dois valores, logo nossa integral ficará:

∬ x 2 + y 2 = 16 ∫ - 4 5 x 2 + y 2 d z d A

Meu boy, como temos uma circunferência completa de raio 4 vamos utilizar a seguinte transformação cilíndrica:

x = 4 c o s ⁡ ( θ )

y = 4 s e n θ

z = z

Com 0 ≤ θ ≤ 2 π logo nossa integral se torna:

∫ 0 2 π ∫ 0 4 ∫ - 4 5 4 r d z d r d θ

Passo 3

Como os limites de integração não depende das variáveis, tanto faz a ordem que você integra. Então vamos de dentro para fora só para manter a metodologia.

∫ 0 2 π ∫ 0 4 4 r   ( 5 - - 4 ) d r d θ = 36   ∫ 0 2 π ∫ 0 4 4 r   d r d θ

Resolvendo as demais integrais temos que:

36 * 2 π * 4 * 4 2 * 1 4 = 1152 π  

Resposta

1152 π  

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )