Sejam as superfícies dadas pelas equações implícitas

x 2 4 + y 2 + z 2 = 1 .                   x - 2 2 = 4 y 2 + z 2 .

e seja E   ⊂ R 3 a região limitada pelas superfícies e que contém a origem.

a) Faça o esboço da região E

b) Calculea seguinte integral tripla:

∭ E 3 x d x d y d z

Passo 1

Realizando uma mudança de coordenadas cilíndricas onde:

x = x       y = r c o s θ     z = r sen ⁡ θ

Nosso jacobiano é conhecido e vale J = r

Obs.: Uma forma de pensar em usar essa mudança é a de que nosso sólido pode ser seccionado em varias circunferências ao longo do eixo x e é por isso que usamos x = x   e não z = z como normalmente usamos ao realizar a mudança para coordenada cilíndricas.

Passo 2

Passo 3

Para descobrir os limites de integração vamos começar isolando o x nas 2 equações que temos:

Para a primeira:

x = ± 2 1 - y 2 - z 2  

Para a segunda:

x = 2 ± 2 y 2 + z 2  

Porém sabemos que a região do elipsoide está na parte negativa de x e que o cone está na parte positiva e menor que 2 então:

- 2 1 - y 2 - z 2 ≤ x ≤ 2 - 2 y 2 + z 2

Substituindo y   e z para as coordenadas cilíndricas:

- 2 1 - r c o s θ 2 - r sen ⁡ θ 2 ≤ x ≤ 2 - 2 r c o s θ 2 + r s e n θ 2

- 2 1 - r 2 ≤ x ≤ 2 - 2 r

Eu não disse que poderíamos seccionar o nosso espaço em várias circunferências? Se você observar, o máximo de raio que essas circunferências podem ter é 1 quando as duas superfícies se interceptam. Isso fica claro por essa imagem (deu tipo ruim com o programa e ele acabou não fazendo a superfície toda kk, mas da pra entender)

Então nosso raio irá variar de 0 até 1  

0 ≤ r ≤ 1

Como temos sempre uma circunferência completa, nosso teta ( θ ) irá variar de 0 a 2 π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Agora vamos resolver nossa integral tripla com a mudança de variável que fizemos, sem esquecer o Jacobiano hein!!!!

∭ E 3 x d x d y d z = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 2 1 - r 2 2 - 2 r 3 r d x d r d θ

Como não temos niguém dependendo de θ , podemos começar resolvendo por ele:

= 3 θ ​ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 2 1 - r 2 2 - 2 r r d x d r

= 3 2 π - 0 ∫ 0 1 ∫ - 2 1 - r 2 2 - 2 r r d x d r

= 6 π ∫ 0 1 ∫ - 2 1 - r 2 2 - 2 r r d x d r

Resolvendo para x :

= 6 π ∫ 0 1 r x ​ - 2 1 - r 2 2 - 2 r d r

= 6 π ∫ 0 1 r ( 2 - 2 r - - 2 1 - r 2 d r

= 12 π ∫ 0 1 r - r 2 + r 1 - r 2 d r

Separando nossa integral em:

12 π ( ∫ 0 1 r d r - ∫ 0 1 r 2 d r + ∫ 0 1 r 1 - r 2 d r )    

Resolvendo cada uma separadamente

∫ 0 1 r d r = r 2 2 ​ 0 1 = 1 2

- ∫ 0 1 r 2 d r = r 3 3 ​ 0 1 = - 1 3

Para a última integral devmos fazer uma mudança de variável

∫ 0 1 r 1 - r 2 d r

u = 1 - r 2 d u = - 2 r d r

Mudando os limites de integração para a nova variável:

r = 0 u = 1 r = 1 u = 0

∫ 0 1 r 1 - r 2 d r = ∫ 1 0 - u d u = 1

Então o resultado da nossa integral é:

∭ E 3 x d x d y d z = 12 π 1 2 - 1 3 + 1 = 14 π

Resposta

14 π

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )