(Capítulo 15.8 – Exercício 30) Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 d z d y d x

Passo 1

E aeeee pessoal, vamos lá

Vamos calcular essa integral:

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 d z d y d x

Sendo que para isso, vamos converter para coordenadas cilíndricas, feshow?

Vamos lá então

Passo 2

Vamos primeiro converter para os limites em z:

z = 9 - x 2 - y 2 → z = 9 - r 2 → . . . 0 ≤ z ≤ 9 - r 2

E então, temos:

- 3 ≤ x ≤ 3 e y 2 = 9 - x 2 → y 2 + x 2 = 9

Com y ≥ 0 , e então concluímos que 0 ≤ r ≤ 3 .

Como y é positivo, só temos metade do círculo, então 0 ≤ θ ≤ π

Com isso, podemos definir a integral cilíndrica tripla como

∫ 0 π ∫ 0 3 ∫ 0 9 - r 2 r × r d z d r d θ

Lembrando que x 2 + y 2 = r

Daí, resolvendo, chegamos em 162 π 5 , fechou?

Resposta

162 π 5

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )