Calcule a integral tripla.

∭ E z   d V

Onde E é limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 , y = 3 x e z = 0 no primeiro octante.

Passo 1

Fala ai, galerinha bonita! Todos prontos para mais uma integral tripla? Nesse exercício famos resolver a integral:

∭ E z   d V

E como o enunciado não nos deu diretamente os intervalos de integração, vamos olhar para as limitações do volume E .

A equação

y 2 + z 2 = 9

representa um círculo no plano x = c , onde c é uma constante qualquer, já que a equação não depende de x , então é como de pegássemos a circunferência e esticássemos ela de menos infinito até mais infinito, formando um cilindro de altura infinita com centro sendo o eixo x , ou ( x , 0,0 ) .

Então se isolarmos z :

z 2 = 9 - y 2

z = ± 9 - y 2

Podemos pegar a variação como sendo:

0 ≤ z ≤ 9 - y 2

Agora analisando as outras equações

x = 0

y = 3 x

A outra restrição é o máximo valor de y na equação y 2 + z 2 = 9 , que acontece quando z = 0 , onde y = ± 3 , então no plano temos:

Podemos botar a variação como sendo

0 ≤ x ≤ 1

3 x ≤ y ≤ 3

Então nossa integral se torna:

∭ E z   d V = ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 ∫ 0 9 - y 2 z   d z d y d x

Vamos lembrar de prestar atenção na ordem de integração, como temos o valor de z dependento do valor de y , vamos integrar primeiro em z , depois como o valor de y depende do valor de x , então temos que integrar em x !

Passo 2

Resolvendo a integral começando pelo z , temos:

∭ E z   d V = ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 ∫ 0 9 - y 2 z   d z d y d x

∭ E z   d V = ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 ∫ 0 9 - y 2 z   d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 ∫ 0 9 - y 2 z 2 2 0 9 - y 2   d y d x

Fazendo a substituição dos intervalos de integração:

z 2 2 0 9 - y 2 = 9 - y 2 2 2 - 0 2 2 = 9 - y 2 2  

Voltando a nossa integral, ficamos com:

∭ E z   d V = ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 ∫ 0 9 - y 2 z   d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 9 - y 2 2 d y   d x

Passo 3

Agora calculando a integral em y :

∭ E z   d V = ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 9 - y 2 2 d y   d x = ∫ 0 1 9 y 2 - y 3 6 3 x 3 d x

Fazendo a substituição do intervalo de integração:

9 y 2 - y 3 6 3 x 3 = 9 ⋅ 3 2 - 3 3 6 - 9 ⋅ 3 x 2 - 3 x 3 6 = 27 2 - 27 6 - 27 x 2 - 27 x 3 6

Vamos retornar essa coisinha feia do pai pra integral:

∭ E z   d V = ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 9 - y 2 2 d y   d x = ∫ 0 1 27 2 - 27 6 - 27 x 2 - 27 x 3 6 d x

Passo 4

Integrando em relação a x :

∭ E z   d V = ∫ 0 1 27 x 3 6 - 27 x 2 + 27 3 d x

Podemos simplificar essa conta colocando o valor 27 em evidência:

∭ E z   d V = 27 ∫ 0 1 x 3 6 - x 2 + 1 3 d x

Fazendo essa integral:

∫ 0 1 x 3 6 - x 2 + 1 3 d x = x 4 24 - x 2 4 + x 3 0 1

Aplicando os limites de integração, temos:

1 4 24 - 1 2 4 + 1 3 - 0 4 24 - 0 2 4 + 0 3 = 1 24 - 1 4 + 1 3

Voltando para a integral:

∭ E z   d V = 27 ∫ 0 1 x 3 6 - x 2 + 1 3 d x = 27 1 24 - 1 4 + 1 3

∭ E z   d V = 27 1 - 6 + 8 24 = 27 3 24

No final, temos o resultado:

∭ E z   d V = 27 8

Resposta

27 8

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
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Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )