Calcule o sólido limitado por W limitado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 pelo plano z = 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema pediu para calcular o volume do sólido compreendido pelo paraboloide

z = x 2 + y 2

E limitado pelo plano

z = 1

Como temos duas coordenadas ao quadrado e uma linear, vamos usar coordenadas cilíndricas! (se fossem todas coordenadas ao quadrado, usaríamos esféricas). Em coordenadas cilíndricas essas duas equações ficam assim

z = r 2

z = 1

Podemos fazer um esboço dessa região:

Agora sabemos que embaixo temos o paraboloide z = r 2 e por cima temos o plano z = 1 limitando superiormente

r 2 < z < 1

E as outras coordenadas? Quando z = 1 , temos que

x 2 + y 2 = z = 1

Temos um círculo de raio 1 , ou seja

0 < r < 1

E queremos por toda volta

0 < θ < 2 π

Tranquilo até aqui?

Então a ideia aqui é usar os limites que acabamos de definir na integral do volume em cilíndricas

∭ W d V

Bora começar?

Passo 2

Nosso volume W é

r 2 < z < 1

0 < r < 1

0 < θ < 2 π

E o diferencial de volume em cilíndricas é

d V = r   d z   d r   d θ

Tudo bem até aqui? Agora vamos montar nossa integral tripla

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 1 r   d z   d r   d θ

beleza?

Passo 3

Agora é #partiu resolver! Começando em z

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 1 r   d z   d r   d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r z z = r 2 z = 1 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r - r 3 d r d θ

Beleza?

Agora em r

∫ 0 2 π r 2 2 - r 4 4 0 1 d θ = ∫ 0 2 π 1 2 - 1 4 d θ = 1 4 ∫ 0 2 π d θ

E por fim em θ

1 4 . θ 0 2 π = 1 4 . 2 π = π 2

Ufa! Terminamos!

Até a próxima!

Resposta

π 2

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )