Calcule o volume do corpo sólido definido como

z 2 + 5 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9

Passo 1

Se você for observar, temos ali um x 2 + y 2 . Pra facilitar nossa vida, podemos pensar nas coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Substituindo na nossa igualdade temos

z 2 + 5 = r 2

r = 5 + z 2

E

r 2 = 9

r = 3

Observa que nosso r foi positivo, até por que não da pra ter um raio negativo. Então temos a interseção como sendo

3 = 5 + z 2

9 - 5 = z 2

z = ± 2

Com isso já temos tudo! Falta só descrever a variação dos nossos termos.

A variação de r já determinado

5 + z 2 ≤ r ≤ 3

A variação de z também já determinaod

- 2 ≤ z ≤ 2

Para a variação do θ ,   é bem tranquilo. Estamos trabalahdno dentro do cilindro, dando a volta completa, ou seja

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora vai ser só fazer a mudança de variáveis e não esquecer o Jacobiano

V = ∫ 0 2 π ∫ - 2 2 ∫ 5 + z 2 3 r   d r   d z   d θ

∫ 0 2 π ∫ - 2 2 r 2 2 | 3 5 + z 2     d z   d θ

1 2 ∫ 0 2 π ∫ - 2 2 9 - 5 + z 2 d z   d θ

π 4 z - z 3 3 - 2 2

= 32 π 3

Resposta

32 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )