Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

Use a integral tripla para encontrar o volume dentro de x 2 + y 2 = 4 x , acima de z = 0 e abaixo de x 2 + y 2 = 4 z .

Passo 1

Vamos começar vendo a região que estamos falando. Primeiro, só queremos a parte positiva de z , o que está dentro do cilindo e o que está abaixo do paraboloide.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Usando coordenadas cilíndricas, ficamos com

r 2 = 4 r c o s θ → r = 4 c o s θ

r 2 = 4 z → z = r 2 4

Para a variação do θ , vamos observar o gráfico acima, e observar que uma varredura do θ partindo do eixo y negativo ( - π 2 ) até o eixo y positivo ( π 2 ).

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Então beleza, vamos juntar o que a gente tem até agora.

V = ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ ∫ 0 r 2 4 r   d z   d r   d θ

= 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 4   c o s θ r 3 4 d r   d θ

= 1 2   ∫ 0 π 2 4 4 cos 4 ⁡ θ 4 d θ

= 32 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 2 d θ

= 8 ∫ 0 π 2 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ d θ

= 8 ∫ 0 π 2 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + 1 + cos ⁡ 4 θ 2 d θ

= 8 θ + 2   . s e n   2 θ 2 + θ 2 = s e n   4 θ 4 0 π 2  

= 8 3 π 4 = 6 π

Resposta

6 π

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