(Capítulo 15.7 – Exercício 20) Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

O sólido limitado pelos paraboloides y = x 2 + z 2 e y = 8 - x 2 - z 2

Passo 1

Oiee gente, e vamos de integral tripla!!

Aqui queremos calcular o volume do sólido limitado pelos paraboloides y = x 2 + z 2 e y = 8 - x 2 - z 2

Antes de tudo, vamos entender o domínio que estamos trabalhando, pra aí aplicar isso em uma integral tripla ok?

Bora!

Passo 2

Precisamos entender primeiramente qual o domínio que estamos trabalhando. Como nossos paraboloides possuem eixo de simetria o eixo y (é o y que não está elevado ao quadrado), teremos que integrar primeiro em relação a y .

Isso porque temos uma região do tipo III (limitada a esquerda por uma superfície e a direita por outra superfície). Portanto, temos:

x 2 + z 2 ≤ y ≤ 8 - x 2 - z 2

Agora, precisamos entender o comportamento da região no plano x z . Para isto, vamos igualar o valor de y em ambas as curvas e estudar a interseção delas! Logo,

x 2 + z 2 = 8 - x 2 - z 2

2 x 2 + 2 z 2 = 8

x 2 + z 2 = 4

Logo, temos uma circunferência de raio 2 centrada na origem! Portanto, temos que resolver a seguinte integral:

V o l u m e = ∭ E d V = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ∫ x 2 + 2 8 - x 2 - z 2 1   d y d z d x

Então boraaa

Passo 3

Temos essa integral:

V o l u m e = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ∫ x 2 + 2 8 - x 2 - z 2 1   d y d z d x

Observem que, no plano x z temos um círculo. Vamos escrever então, ao invés de coordenadas x e z , no sistema de coordenadas polares. Portanto,

x = 2 cos ⁡ θ

z = 2 sen ⁡ θ

Fazendo esta mudança, temos a seguinte integral:

V o l u m e = ∭ E d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 8 - r 2 r   d y d r d θ

Passo 4

Precisamos começar integrando a variável y Portanto,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 8 - r 2 r   d y d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r   y r 2 8 - r 2 d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r   8 - r 2 - r 2 d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 8 r - 2 r 3 d r d θ

Passo 5

Agora, precisamos integrar em relação a r . Logo,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 8 r - 2 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π 4 r 2 - r 4 2 0 2 d θ

∫ 0 2 π 8 d θ

Passo 6

Por fim, basta integrarmos em relação a θ , e aí temos:

∫ 0 2 π 8 d θ = 16 π

Showww, então o volume da superfície é 16 π

Resposta

V o l u m e = 16 π

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )