Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

USP, Cálculo 3, P1 - 2016, Questão 2

Ache a massa do sólido limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , 2 z 2 - x 2 - y 2 = 4 com densidade δ x , y , z = z

Passo 1

Para calcular a massa vamos precisar da seguinte integral:

M = W δ x , y , z d V

Vamos então ter que descobrir os limites de integração de W , certo? O esboço é esse aqui:

Onde a superfície vermelha é o cone z = x 2 + y 2 e a azul é 2 z 2 - x 2 - y 2 = 4 que podemos reescrever da seguinte forma:

z = 4 + x 2 + y 2 2

Então os limites de z são:

x 2 + y 2 z 4 + x 2 + y 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nosso limite tem muito x 2 + y 2 , né? Vamos fazer uma mudança para coordenadas cilíndricas para ver se fica melhor:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

J = r

Os novos limites de z vão ser

r z 4 + r 2 2

Beleza, e como vamos achar os limites de r e θ ? Vemos pelo gráfico que r varia de zero até a interseção das superfícies, então, igualando as duas ficamos com

r = 4 + r 2 2 2 r 2 = 4 + r 2

r = 2

Logo

0 r 2

0 θ 2 π

Passo 3

Definidos os limites, vamos voltar para a nossa integral de massa

M = W δ x , y , z d V = 0 2 π 0 2 r 4 + r 2 2 ( z r ) d z d r d θ

Passo 4

Integrando em z

= 0 2 π 0 2 r z 2 2 z = r z = 4 + r 2 2 d r d θ = 1 2 0 2 π 0 2 r 4 + r 2 2 - r 2 d r d θ

= 1 2 0 2 π 0 2 2 r - r 3 2 d r d θ

Integrando em r

= 1 2 0 2 π 2 r 2 2 - r 4 8 r = 0 r = 2 d θ

= 1 2 0 2 π 4 - 2 d θ = 0 2 π d θ

Integrando em θ

= 2 π

Resposta

M = 2 π

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