Utilize as coordenadas esféricas

x = r s e n ( θ ) c o s ⁡ ( φ ) y = r s e n θ s e n ( φ ) z = r c o s ( φ )

( r ≥ 0 ,   0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π ) e calcule as integrais dadas a seguir, utilizando a formula da mudança de variáveis:

∭ R f x , y , z d V = ∭ R ' f r c o s θ s e n ( φ ) , r s e n θ s e n ( φ ) , r c o s ( φ ) r 2 s e n ( φ ) d V

Onde R = (   x = r s e n ( θ cos ⁡ φ ,   y = r s e n θ s e n φ , z = r c o s ( φ   )   ∈ R 3 / ( r , θ , φ )   ∈ R 3 ' }

b )   ∭ R x d V   onde R é a região contida dentro do cilindro x 2 + y 2 = 2 2   e x 2 + y 2 = 2 2 , entre os planos z=0 até z=x+y+3

Passo 1

Bem pessoas, essa é uma questão padrão de integração tripla. Ele não deu a integral bonitinha, então precisamos desenhar o domínio de integração, para após resolver utilizando a mudança de coordenadas para as cilíndricas.

Mas como resolver? Bem, para resolver precisaremos de alguns conceitos de matemática básica e também de conceitos de integração.

Você lembra deles?

CAAAAAAAAAAAAALMA, se lembrar ótimo. Caso contrario vamos resolver aqui passo a passo com você para você aprender certinho belezinha?

Então vaaaaaaaaaaaamos lá

Passo 2

Analisando os cilindros nos vemos que eles tem um raio igual a 3 e o outro tem um raio igual a 2 e crescem infinitamente ao longo de z.

Porém ele é cortado por 2 planos, então o desenho disso deve ser algo mais ou menos assim:

Então nossa integralzinha deve ficar uma circunferência no plano ( x , y ) e vai crescer entre esses dois planos z , logo nossa integral ficará:

∬ 4 ≤   x 2 + y 2 ≤ 9 ∫ 0 3 - x - y x d z d A

Meu boy, como temos uma circunferência completa de raio variável vamos utilizar a seguinte transformação cilíndrica:

x = r ⁡ ( θ )

y = r s e n θ

z = z

Com 0 ≤ θ ≤ 2 π e nosso raio é 2 ≤ r ≤ 3 , substituindo tudo na integral temos:

∫ 0 2 π ∫ 2 3 ∫ 0 4 - r ( cos ⁡ θ + s e n ( θ ) r c o s θ r d z d r d θ

Passo 3

Como os limites de integração depende das variáveis, é importante definir a ordem que você integra. Então vamos de dentro para fora só para manter a metodologia.

∫ 0 2 π ∫ 2 3 ∫ 0 4 - r ( cos ⁡ θ + s e n ( θ ) r c o s θ r d z d r d θ = ∫ 0 2 π c o s θ ∫ 2 3 r 2 ∫ 0 4 - r ( cos ⁡ θ + s e n ( θ ) 1 d z d r d θ

Integrando o eixo z temos que:

∫ 0 2 π c o s θ ∫ 2 3 r 2 ( 4 - r ( cos ⁡ θ + s e n ( θ ) ) d r d θ

Agora vamos realizar a distributiva e integrar o eixo r , mas lembrando o θ é uma constante em relação ao r .

∫ 0 2 π 4 c o s θ - 1 4 cos 2 ⁡ ( θ ) - s e n ( θ ) c o s θ   d θ

Para resolver essa integral precisaremos de duas identidades trigonométricas:

s e n θ cos ⁡ θ = 1 2 s e n 2 θ

cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 + c o s ⁡ ( 2 θ ) 2

Substituindo nas integrais e as resolvendo, chegamos na solução que é

- π 4

Resposta

- π 4

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )