Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

Questão 2: Usando coordenadas cilíndricas calcule

∭ B   x 2 + y 2   d V

Onde B é a região situada acima do plano x y , y ≥ x e abaixo do cone

z = 4 - x 2 + y 2

Passo 1

Sempre devemos começar uma integral tripla antes nos questionando sobre a região de integração: quem é essa região?

Para responde essa pergunta, vamos recriar no espaço o que o problema nos disse: B é a região situada acima do plano x y , com y ≥ x e abaixo de um cone:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok! Conhecemos o sólido B , agora o que estamos prestes a fazer é descrê-lo pra podermos integrar. Como vamos fazer isso é outra pergunta interessante a se fazer. Mas relaxa que sua resposta também é bem satisfatória:

Ora! Pense comigo, se estamos trabalhando dentro de um cone, qual tipo de descrição seria interessante? Uma descrição em coordenadas cilíndricas, certo? Onde podemos fazer a mudança:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z       ( O   z   c o n t i n u a   s e n d o   e l e   m e s m o … S e m   m u d a n ç a )

O Jacobiano dessa mudança é...

J = r

E não podemos deixar para trás o interessante fato de que se somarmos x 2 + y 2 , vamos obter...

x 2 + y 2 = r 2         ( e q u a ç ã o   d o   c í r c u l o )

Passo 3

Certo, mas ainda não descrevemos ninguém, apenas fornecemos a ferramenta certa pra isso. Para de fato realizarmos essa descrição, veja onde as coordenadas variam naturalmente e vamos comparar com o nosso sólido:

Veja que o z das coordenas cilíndricas variam de cima pra baixo, ou seja, no nosso caso podemos falar que ele é o cara que varia de uma base z = 0 até o teto (que é o cone):

0 ≤ z ≤ c o n e

Como pela equação do cone temos... z = 4 - x 2 + y 2 ...

0 ≤ z ≤ 4 - x 2 + y 2             →        

      c o l o c a n d o   n a s   c o o r d e n a d a s   c i l i n d r i c a s           →

0 ≤ z ≤ 4 - r 2             →

0 ≤ z ≤ 4 - r

Passo 4

Quanto ao θ , veja que ele sempre começa a variar a partir do eixo x :

E no nosso sólido ele tem o seu primeiro contato apenas a partir da reta y = x = x (já que x nesse primeiro contato de θ ainda é positivo)...

y = x       →

r cos ⁡ θ = r cos ⁡ θ   →

sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 1         →

tan ⁡ θ = 1       →             θ = 45 ° = π 4

Já para o θ de saída, como estamos falando do cara que está do outro lado, onde x é negativo, então y = x = - x ...

y = - x       →

r cos ⁡ θ = - r cos ⁡ θ   →

- sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 1         →

tan ⁡ θ = - 1       →             θ = 135 ° = 3 π 4

Logo...

π 4 ≤ θ ≤ 3 π 4

Passo 5

Vamos lá! Falta pouco! Só falta o r mesmo. Perceba que o raio mínimo acontece na origem quando o r = 0 ... Já o raio máximo, acontece quando z = 0 no cone...

z = 4 - x 2 + y 2         →               0 = 4 - x 2 + y 2             →

    0 = 4 - r 2             →

r = 4

Então...

0 ≤ r ≤ 4

Passo 6

Beleza, agora é mesmo só voltar para a integral...

∭ B   x 2 + y 2   d V

Onde vamos substituir tudo (inclusive não se esquecer de multiplicar a função pelo Jacobiano):

∭ B   x 2 + y 2   d V = ∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 4 ∫ 0 4 - r r 2 ⋅ J   d z d r d θ =

∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 4 ∫ 0 4 - r r ⋅ r   d z d r d θ

Partiu integrar então... (começando por z e considerando r 2 como uma constante)

∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 4 r 2 ∫ 0 4 - r   d z d r d θ = ∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 4 r 2 4 - r d r d θ =

∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 4 4 r 2 - r 3   d r d θ = ∫ π 4 3 π 4 4 r 3 3 - r 4 4 0 4 d θ =

Substituindo em r ...

∫ π 4 3 π 4 4 ⋅ 4 3 3 - 4 4 4 d θ = ∫ π 4 3 π 4 256 3 - 256 4 d θ =

256 3 - 256 4 ∫ π 4 3 π 4 d θ =

Integrando...

256 3 - 256 4 3 π 4 - π 4 = 256 3 - 256 4 π 2 =

128 3 - 32 π =

32 3 π

Resposta

32 3 π

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