Calcule a integral

∫ ∫ ∫ E y d x d y d z

onde E é a região entre os cilindros x 2 +   y 2   =   4   e   x 2 +   y 2   =   1 e limitada pelos planos x y e por z = x + 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo.

Nosso objetivo é calcular ∫ ∫ ∫ E y d x d y d z

onde E é a região entre os cilindros x 2 +   y 2   =   4   e   x 2 +   y 2   =   1 e limitada pelos planos x y e por z = x + 2

Passo 2

Vamos começar vendo nossa região de integração. E é a região entre os cilindros x 2 +   y 2   =   4   e   x 2 +   y 2   =   1 e limitada pelos planos x y e por z = x + 2

essa região é um pouco complicada de trabalharmos do jeito que está. Então, vamos mudar o domínio de integração para coordenadas polares, fazendo

x = r c o s ( u )

y = r s i n ( u )

⇒ d x d y   =   r d r d u

Dessa forma, das restrições

x 2 +   y 2   =   4   e   x 2 +   y 2   =   1

obtemos que

1 ≤ r ≤ 4

e como estamos sem limitação de quadrante no plano x y , temos que

0 ≤ u ≤ 2 π

E por fim,

0 ≤ z ≤ r c o s ( u ) + 2

Então a integral fica

∫ ∫ ∫ E y d x d y d z = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ∫ 0 r c o s ( u ) r s i n ( u ) r d z d r d u

integrando em z

= ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 3 s i n ( u ) c o s ( u ) d r d u

integrando em r

= ∫ 0 2 π r 4 s i n ( u ) c o s ( u ) / 4 | r = 2 r = 1 d u

= ∫ 0 2 π 15 s i n ( u ) c o s ( u ) / 4 d u

e por fim, lembrando que s i n ( 2 u ) = 2 s i n ( u ) c o s ( u ) temos que

= ∫ 0 2 π 15 s i n ( 2 u ) / 8 d u

= 0

pois o seno é uma função ímpar, e estamos integrando em um domínio simétrico em relação ao seno

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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