Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão 31

Converta a integral abaixo para uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e calcule o resultado.

- 1 1 0 1 - y 2 0 x x 2 + y 2   d z   d x   d y

Passo 1

Vamos começar interpretando as informações que estão na integral do enunciado.

Como é uma integral tripla, ela está percorrendo uma região no espaço, nossa primeira tarefa é descobrir que região é essa.

O y está variando no seguinte intervalo:

- 1 y 1

E para cada um desses valores de y , o x varia em:

o x 1 - y 2

Ok, antes de definirmos o intervalo do z , vamos desenhar o que já temos no plano x y :

Isso já resolve alguns problemas! Temos metade de um círculo de raio 1 , com isso já podemos dizer que:

0 r 1

- π 2 θ π 2

Lembrando que esse θ é o ângulo que o raio forma com o eixo x .

Agora falta escrever o intervalo do z em coordenadas cilíndricas. Aqui nem precisamos pensar demais, é só substituir. Antes tínhamos:

0 z x

E agora ficamos com:

0 z r . cos ( θ )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, os limites de integração já foram, agora faltam duas coisas: primeiro temos que reescrever a função que está sendo integrada:

f x , y = ( x 2 + y 2 )

E em coordenadas cilíndricas:

f r , θ = r . cos θ 2 + r . sen θ 2

f r , θ = r 2 cos 2 θ + sen 2 θ = r 2

Segundo, precisamos reescrever os diferenciais d x   d y   d z . Aqui precisamos usar o famoso “jacobiano”, para as coordenadas cilíndricas, você deve lembrar que ele é:

d x   d y   d z = r   d r   d θ   d z

Pronto! Agora podemos substituir tudo na integral:

- 1 1 0 1 - y 2 0 x x 2 + y 2   d z   d x   d y

Mas precisamos ajeitar a ordem das integrais de forma que as variáveis que dependem de constantes fiquem por último!

- π / 2 π / 2 0 1 0 r . c o s ( θ ) ( r 2 ) ( r   d z   d r   d θ )

Passo 3

Beleza, agora já temos tudo para resolver a integral.

- π / 2 π / 2 0 1 0 r . c o s ( θ ) ( r 3   d z   d r   d θ )

Primeiro integramos em relação a z . Nesse caso, r 3 se comporta como constante:

0 r . c o s ( θ ) d z = r . cos θ - 0 = r . cos ( θ )

E substituindo isso na integral:

- π / 2 π / 2 0 1 r 4 . cos ( θ )   d r   d θ

Agora podemos integrar em relação a r . Nesse caso, c o s ( θ ) é uma constante:

0 1 r 4   d r = 1 5 5 = 1 5

Então:

- π / 2 π / 2 1 5 cos θ d θ

Agora é só lembrarmos que a integral do cos θ é sen ( θ ) , e o valor final da nossa integral é:

1 5 sen π 2 - sen - π 2

1 5 1 - - 1 = 1 5 2 = 2 5

Resposta

A integral em coordenadas cilíndricas é - π / 2 π / 2 0 1 0 r . c o s ( θ ) ( r 3 ) ( d z   d r   d θ ) e seu valor é 2 / 5 .

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