Calcule a integral tripla.

∭ E x y   d V

Onde E é delimitado pelo cilindro parabólico y = x 2 e x = y 2 e pelos planos z = 0 e z = x + y

Passo 1

Bom dia pra você, estudante mais preparado desse mundão! E se você acha que eu estou mentindo, vem comigo nesse exercício para comprovar que você está sabendo tudo para a sua provinha!

Temos um exercício para calcular uma integral tripla, mas vamos olhar no enunciado quem esse bichão é:

∭ E x y   d V

Ótimo, ele me deu a função pra integrar, mas não me deu os limites de integração explicitamente, então não se desespera, vamos olhar para as condições de quem é essa região E !

O enunciado me disse que a região E é delimitada pelo cilindro parabólico:

y = x 2

x = y 2

E pelos planos:

z = 0

z = x + y

Olhou para esses planos? Então podemos observar que z vai vai de zero até o valor de x + y , então podemos reescrever como

0 ≤ z ≤ x + y

Agora as outras variáveis analisamos em uma região D do plano. Colocando no plano y = x 2 e x = y 2 , temos a seguinte imagem:

Como os valores de x variam de 0 a 1 :

0 ≤ x ≤ 1

E o valor de y é:

y = x 2

Então podemos observar que o valor de y irá variar dentro do intervalo:

x 2 ≤ y ≤ x

Temos os intervalos de integração:

0 ≤ x ≤ 1 x 2 ≤ y ≤ x 0 ≤ z ≤ x + y

Agora sabemos que podemos reescrever a integral que temos que resolver como:

∭ E x y   d V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 x + y x y   d z d y d x

Presta bem atenção na ordem de integração, como o valor de z depende de x e de y , então vamos fazer a integração dele primeiro, depois como o valor de y varia com o valor de x vamos fazer a integração dele e por último, vamos integrar o valor de x que tem os limites de integração como valores numéricos!

Show de bola? Então vamos começar as integrações!

Passo 2

Começando pela integração do valor de z , como nossa integral não tem valor nenhum de z , vamos considerar que todo o resto é constante:

∭ E x y   d V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 x + y x y   d z d y d x

∭ E x y   d V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x x y   z 0 x + y d y d x

Fazendo a substituição dos limites de integração, nós temos:

z 0 x + y = x + y - 0 = x + y

Logo, nossa integral se torna:

∭ E x y   d V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x x y   ( x + y ) d y d x

Aplicando a distributiva dentro da integral, nós temos:

∭ E x y   d V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x ( x 2 y + x y 2 ) d y d x

Passo 3

Vamos continuar a partir da integral em relação a y :

∭ E x y   d V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x ( x 2 y + x y 2 ) d y d x

Vamos considerar que tudo que não é y é uma constante e integrar as parcelas que se somam individualmente:

∫ 0 1 ∫ x 2 x ( x 2 y + x y 2 ) d y d x = ∫ 0 1 x 2 y 2 2 + x y 3 3 x 2 x d x

Substituindo os valores do intervalo de integração em y :

x 2 y 2 2 + x y 3 3 x 2 x = x 2 x 2 2 + x x 3 3 - x 2 x 2 2 2 + x x 2 3 3

Resolvendo isso:

x 2 y 2 2 + x y 3 3 x 2 x = x 2 ⋅ x 2 2 + x ⋅ x 3 2   3 - x 2 ⋅ x 4 2 + x ⋅ x 6 3

x 2 y 2 2 + x y 3 3 x 2 x = x 4 2 + x 5 2   3 - x 6 2 + x 7 3 = x 4 2 + x 5 2   3 - x 6 2 - x 7 3

Não precisa resolver mais do que isso, vamos retornar essa expressão feia do jeito que está para nossa integral:

∭ E x y   d V = ∫ 0 1 x 2 y 2 2 + x y 3 3 x 2 x d x = ∫ 0 1 x 4 2 + x 5 2   3 - x 6 2 - x 7 3 d x

Passo 4

Agora é a hora mágica de fazer a última integração, eu sei que você não aguenta mais, mas é indolor, te prometo!

A expressão que temos que integrar é:

∭ E x y   d V = ∫ 0 1 x 4 2 + x 5 2   3 - x 6 2 - x 7 3 d x = 1 2 ⋅ x 5 5 + 1 3 ⋅ x 7 2 7 2 - 1 2 ⋅ x 7 7 - 1 3 ⋅ x 8 8 0 1

Simplificando a expressão antes da substituição dos valores, ficamos com:

1 2 ⋅ x 5 5 + 1 3 ⋅ x 7 2 7 2 - 1 2 ⋅ x 7 7 - 1 3 ⋅ x 8 8 0 1 = x 5 10 + 2 21 ⋅ x 7 2 - x 7 14 - x 8 24 0 1

Fazendo a substituição dos valores do intervalo de integração:

x 5 10 + 2 21 ⋅ x 7 2 - x 7 14 - x 8 24 0 1 = 1 5 10 + 2 21 ⋅ 1 7 2 - 1 7 14 - 1 8 24 - 0 5 10 + 2 21 ⋅ 0 7 2 - 0 7 14 - 0 8 24

x 5 10 + 2 21 ⋅ x 7 2 - x 7 14 - x 8 24 0 1 = 1 10 + 2 21 - 1 14 - 1 24 - 0 - 0 + 0 + 0

x 5 10 + 2 21 ⋅ x 7 2 - x 7 14 - x 8 24 0 1 = 84 + 40 - 60 - 35 840 =

Nossa integral se resulta em:

x 5 10 + 2 21 ⋅ x 7 2 - x 7 14 - x 8 24 0 1 = 29 840

Logo, a integral tripla tem como resultado:

∭ E x y   d V = 29 840

Resposta

29 840

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )