Encontre o volume dos sólidos limitado pelos cilindros x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + z 2 = a 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o volume dos sólidos limitado pelos cilindros x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + z 2 = a 2 .

Para isso, devemos utilizar coordenadas cilíndricas, que são representadas como ( r , θ , z ) , onde r é a distância do ponto ao eixo z , θ é o ângulo polar e z é a coordenada vertical.

Agora vamos determinar os limites de integração:

  • r varia de 0 a a ,pois está limitado pelo raio do cilindro x 2 + y 2 = a 2 ;
  • θ varia de   0 a 2 π para cobrir todo o círculo;
  • z varia de - a 2 - r 2 a a 2 - r 2 , pois o cilindro x 2 + z 2 = a 2 é simétrico em relação ao plano x y .

Dessa forma, determinaremos o volume V a partir da seguinte integral tripla:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ - a 2 - r 2 a 2 - r 2 r d z   d r   d θ

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a z , vamos pegar essa integral:

∫ - a 2 - r 2 a 2 - r 2 r d z   ∴

Colocando a constante para fora e desenvolvendo, temos:

= r ∫ - a 2 - r 2 a 2 - r 2 d z ∴

= r z a 2 - r 2 - a 2 - r 2 ∴

= 2 r a 2 - r 2

Agora vamos integrar em relação a r .

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ - a 2 - r 2 a 2 - r 2 r d z   d r   d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 r a 2 - r 2   d r   d θ ∴

Resolvendo em relação a r , temos:

2 ∫ 0 a r a 2 - r 2   d r

Fazendo u = a 2 + r 2 ∴ d u = 2 r   d r , temos:

= 2 ∫ a 2 0 r y d u 2 r ∴

= 2 a 3 3

Passo 4

Por fim, aplicando na última integral em relação a d θ , temos:

∫ 0 2 π 2 a 3 3 d θ =

= 2 a 3 3 ∫ 0 2 π d θ ∴

= 2 a 3 3 θ 2 π 0 ∴

= 4 π a 3 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= 4 π a 3 3

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada.2 r^2 + z^2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )