Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UNICAMP, Cálculo 2, P2 - 2014.2 - 6ª Matutino, Questão 2

Calcule a integral tripla B   x 2 + y 2 d V , em que B = { x , y , z : x 2 + y 2 1 ,   0 z 1 } .

Passo 1

Vamos começar fazendo um desenho da região. Temos um cilindro de raio 1 centrado na origem cortado pelos plano z = 0 e z = 1 :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como temos um cilindro e dois planos limitando nossa região, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Como temos uma volta completa em torno do eixo z , sabemos que 0 θ 2 π . Pelo próprio gráfico, podemos ver que z varia desde 0 até 1 , logo, 0 z 1 .

Já o intervalo de r é desde o eixo z , onde r = 0 até a superfície do cilindro, onde r = 1 , o que podemos tirar da equação:

x 2 + y 2 = 1

Então, podemos escrever a região B como:

B = { ( r , θ , z ) | 0 r 1 ; 0 θ 2 π ;   0 z 1 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

0 2 π 0 1 0 1 [ r cos θ 2 + r   s e n   θ 2 ]   r   d z   d r   d θ =

= 0 2 π 0 1 0 1 r 3   d z   d r   d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= 0 2 π 0 1 r 3 z 0 1 d r d θ = 0 2 π 0 1 r 3 d r d θ

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= 0 2 π r 4 4 0 1 d θ =

= 1 4 0 2 π d θ

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= 1 4 θ 0 2 π =

= π 2

Resposta

π 2

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