Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2010.2, Questão 2

Calcule a integral tripla

I = W   x 2 + y 2 d x d y d z

Onde W é a interseção dos sólidos C = x , y , z x 2 + y 2 1 } , P = x , y , z z 0 } e K = x , y , z z - x 2 + y 2 }

Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido:

Temos um cilindro de equação x 2 + y 2 = 1 , uma folha de cone dada por z - x 2 + y 2 e o plano z = 0 limitando W (queremos a região abaixo desse plano).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as superfícies que o limitam são um cilindro e um cone, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Fazendo essa substituição na equação do cone, já vimos que temos z = - r (com sinal negativo porque estamos nos referindo à folha que tem z 0 ). No cilindro, teremos r = 1 , como também já vimos anteriormente (esse é o valor máximo de r , o mínimo é r = 0 ).

Pelo gráfico, vemos que os valores de z variam entre a superfície do cone e o plano z = 0 , portanto, - r z 0 . Vemos, também, que 0 θ 2 π , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria z . Assim, podemos escrever a região como:

W = { ( r , θ , z ) | 0 r 1 ; 0 θ 2 π ;   - r z 0 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

0 2 π 0 1 - r 0 r cos θ 2 + r   s e n   θ 2 r d z d r d θ =

= 0 2 π 0 1 - r 0 r 2 d z d r d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= 0 2 π 0 1 r 2 z z = - r z = 0 d r d θ =

= 0 2 π 0 1 r 3 d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= 0 2 π r 4 4 r = 0 r = 1 d θ =

= 1 4 0 2 π d θ =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= θ 4 0 2 π =

Resposta

π 2

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