Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFRJ, Cálculo III, P1/2012.2, 2

Calcule a integral tripla

I = W   z 2 d x d y d z

Onde W é a região limitada pelas superfícies de equações x 2 + y 2 = 4 + z 2 e z = x 2 + y 2 - 4 .

Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido

A equação z = x 2 + y 2 - 4 representa um paraboloide elíptico “virado” para cima, pois os coeficientes de x 2 e de y 2 são positivos. A outra equação x 2 + y 2 = 4 + z 2 representa uma superfície que estamos vendo nesse capítulo pela primeira vez: um hiperboloide de uma folha. Se você reparar, a equação é bem parecia com a do cone, a diferença é que temos um número independente, não apenas as variáveis.

Nossa região é, portanto, esse anel que vemos abaixo, limitado interiormente pelo hiperboloide azul.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos escrever matematicamente essa região W . Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as superfícies que o limitam possuem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Vamos agora fazer essa substituição na equação do hiperboloide e na do paraboloide:

x 2 + y 2 = 4 + z 2   r cos θ 2 + r   s e n   θ 2 = 4 + z 2    

r 2 = 4 + z 2

z = x 2 + y 2 - 4   z = r cos θ 2 + r   s e n   θ 2 - 4

z = r 2 - 4

Pela figura, vemos que r varia entre as duas superfícies, então, temos 4 + z 2 r 4 + z . Vemos, também, que 0 θ 2 π , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria z . Falta, então, o intervalo de z . Para isso, temos que encontrar as duas alturas onde as superfícies se cortam:

r 2 = 4 + z 2

  z = r 2 - 4   r 2 = z + 4

4 + z 2 = z + 4

z 2 - z = 0

z = 0 z = 1

As interseções são, portanto duas circunferências: uma em altura z = 0 e outra em z = 1 .

Assim, escrevermos a região como:

W = { ( r , θ , z ) | 4 + z 2 r 4 + z ; 0 θ 2 π ;   0 z 1 }

Passo 3

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

0 2 π 0 1 4 + z 2 4 + z z 2 r d r d z d θ =

Passo 4

Integrando em relação a r , temos:

= 0 2 π 0 1 z 2 r 2 2 r = 4 + z 2 r = 4 + z d z d θ =

= 0 2 π 0 1 z 2 2 4 + z - 4 - z 2 d z d θ =

= 1 2 0 2 π 0 1 z 3 - z 4 d z d θ =

Passo 5

Agora, integramos em relação a z :

= 1 2 0 2 π z 4 4 - z 5 5 z = 0 z = 1 d θ =

= 1 2 0 2 π 1 4 - 1 5 d θ =

= 1 40 0 2 π d θ =

Passo 6

Finamente, integramos em relação a θ :

= θ 40 0 2 π =

= 1 40 2 π - 0 =

Resposta

π 20

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