Calcule a integral tripla

I = ∭ W   z 2 d x d y d z

Onde W é a região limitada pelas superfícies de equações x 2 + y 2 = 4 + z 2 e z = x 2 + y 2 - 4 .

Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido

A equação z = x 2 + y 2 - 4 representa um paraboloide elíptico “virado” para cima, pois os coeficientes de x 2 e de y 2 são positivos. A outra equação x 2 + y 2 = 4 + z 2 representa uma superfície que estamos vendo nesse capítulo pela primeira vez: um hiperboloide de uma folha. Se você reparar, a equação é bem parecia com a do cone, a diferença é que temos um número independente, não apenas as variáveis.

Nossa região é, portanto, esse anel que vemos abaixo, limitado interiormente pelo hiperboloide azul.

Passo 2

Agora precisamos escrever matematicamente essa região W . Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as superfícies que o limitam possuem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Vamos agora fazer essa substituição na equação do hiperboloide e na do paraboloide:

x 2 + y 2 = 4 + z 2   → r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 = 4 + z 2    

r 2 = 4 + z 2

z = x 2 + y 4 - 4   → z = r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 - 4

z = r 2 - 4

r 2 = 4 + z

Pela figura, vemos que r varia entre as duas superfícies, então, temos 4 + z 2 ≤ r ≤ 4 + z . Vemos, também, que 0 ≤ θ ≤ 2 π , uma vez que o sólido está envolta do eixo de simetria z . Falta, então, o intervalo de z . Para isso, temos que encontrar as duas alturas onde as superfícies se cortam:

r 2 = 4 + z 2

  z = r 2 - 4   → r 2 = z + 4

4 + z 2 = z + 4

z 2 - z = 0

z = 0 z = 1

As interseções são, portanto duas circunferências: uma em altura z = 0 e outra em z = 1 .

Assim, escrevermos a região como:

W = { ( r , θ , z ) | 4 + z 2 ≤ r ≤ 4 + z ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   0 ≤ z ≤ 1 }

Passo 3

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 4 + z 2 4 + z z 2 r d r d z d θ =

Passo 4

Integrando em relação a r , temos:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 z 2 r 2 2 r = 4 + z 2 r = 4 + z d z d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 z 2 2 4 + z - 4 - z 2 d z d θ =

= 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 z 3 - z 4 d z d θ =

Passo 5

Agora, integramos em relação a z :

= 1 2 ∫ 0 2 π z 4 4 - z 5 5 r = 0 r = 1 d θ =

= 1 2 ∫ 0 2 π 1 4 - 1 5 d θ =

= 1 40 ∫ 0 2 π d θ =

Passo 6

Finamente, integramos em relação a θ :

= θ 40 0 2 π =

= 1 40 2 π - 0 =

Resposta

π 20

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 0 ≤ r ≤ 2 ,- π 2 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ z ≤ 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , π / 4 ,1 ) ( 4 , - π / 3 ,5 )